ベクトル問題精選－ベクトル解法のマスター

ベクトルの基礎事項をここで、まとめておきましょう。

1) ベクトルの加法、減法

\(\vec{ a }＋\vec{ ｂ }\)、\(\vec{ a }－\vec{ ｂ }\)
2) ベクトルの内積

\(\vec{ a }＝(ａ_1、ａ_2)、\vec{ b }＝(b_1、b_2)\)　、成す角をθと
すれば、
\(\vec{ a } \cdot \vec{ b }＝l \vec{ a }l･ｌ\vec{ b }lcosθ＝
ａ_1･ｂ_1＋ａ_2･ｂ_2\)　となります。

3) ベクトルの内分、外分点

\(\overrightarrow{ ＯA }＝\vec{ a }\)、\(\overrightarrow{ ＯＢ }＝
\vec{ｂ}\)とし、ABを\(ｔ：(1－ｔ)\)　②内分する点をPとすれば、
\(\overrightarrow{ ＯP}＝(1－ｔ)\vec{ a }＋ｔ\vec{ b}\)　です。

4)　ベクトルの1次独立

\(\vec{ a }、\vec{ｂ}≠\vec{０}で、\vec{ a }と\vec{b}\)が平行で
なければ、\(ｘ、ｙ\)を実数とすれば、
\(ｘ･\vec{ a }+ｙ･\vec{ ｂ }＝\vec{0 }\)ならば、\(x=y=0\)です。
このとき２つのベクトルは１次独立といいます。

５）三角形ＯＡＢの面積
\(\vec{ a }、\vec{ｂ }\)で形成される三角形の面積をSとすると、
\(S＝1/2･\sqrt{l\vec{ a }l^2･ｌ\vec{ｂ }ｌ^2－(\vec{ a } \cdot
\vec{ b })^2}\)　となります。

ベクトルに関する精選問題

【問題1】

\(ｒは0＜ｒ＜1\)を満たす実数とします。\(ｘｙｚ\)空間に\(Ｏ(0,0,0)、Ａ(1,0,0)、Ｂ(0,1,0)\)をとります。

(1)\(ｘｙｚ\)空間の点Ｐが、\(ｌ\overrightarrow{PA}ｌ\)＝\(ｌ\overrightarrow{PB }ｌ＝ｒ･ｌ\overrightarrow{PO }ｌ\)を満たすものが存在する範囲を求めてください。

(2)点Ｐが(1)の条件を満たして動くとき、内積 \(\vec{PA} \cdot \vec{PB}\) の最大値、最小値を、\(M(r),m(r)\) とします。このとき、
\(\lim_{ r \to 1-0 }(1－ｒ)^2･(M(r)－m(r))\) を求めてください。（東大）

【問題２】

\(ｘｙｚ\)平面において、ｘｙ平面上に原点を中心とする半径２の円Cがあるとします。点(0,1,0)をとおり、ベクトル(1,1,－2)に平行な直線を l とします。

ｌ 上の動点Ｐから最短距離にあるＣ上の点をＱとします。Ｐがｌ全体を動くときの、点Ｑの動く範囲を求めてください。（大阪大）

【問題３】

\(ｘｙｚ\)平面上の正８面体の頂点を、\(Ｐ_1,Ｐ_2、･･･････、Ｐ_6\)とベクトル
\(\vec{ v }\)に対して、\(ｋ≠ｍ\)のとき、\(\vec{PM } \cdot \vec{ v }\)≠０
が成り立っているとします。
このとき、ｋと異なるすべてのｍに対し、\(\vec{PM } \cdot \vec{ v }\)＜0が成り立つような\(P_k\)が存在することを証明してください。
（京大）

【問題４】

４面体ＯＡＢＣにおいて、\(ＯＡ＝ＯＢ＝２、ＯＣ＝１、∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝60°\)とします。

辺ＯＡ上に、点Ｐを、\(\overrightarrow{OP}＝ｘ･\overrightarrow{OA }\)
となるようにとり、三角形OBCの内部に点Qをとり、内積　\(\vec{PQ } \cdot \vec{ OB}＝０、\vec{PQ } \cdot \vec{OC }＝０\)　となるようにとります。

\(ｘが0＜ｘ＜1\)の範囲を動くとき、４面体BCPQの体積の最大値とその最大値を与えるｘの値を求めてください。
（福島県立医科大改）