平面曲線の特異点－特異点の分類－

特異点について

ここで特異点のすべてを論じることは難しいですから、分かりやすい例で、平面曲線の特異点について例をあげておくことにします。

Ⅰ)\(Ｆ(x,y)＝ｙ^2－ｘ^2(ｘ＋ａ)＝０\)

\(Fx＝－3ｘ^2－２ａｘ、Ｆy＝2ｙ\)　で、\(O(0,0)でＦx＝Fy＝０\)となって
特異点です。
(a)　ａ＞0のとき、
\(ｙ_1＝ｘ\sqrt{x+a}\) , \(y_2=－x\sqrt{x+a}\) はともに、なめらか
な分枝で点Ｏで交わっている。
\(ｘ＞0でy_1＞0、ｘ＜0でy_1＜0、y_1’＝(3ｘ+２ａ)/(2\sqrt{x+a}),
y_1′(0)=\sqrt{a}\) となります。
このとき、点Ｏのような点を結節点といいます。

(b)　ａ＜0のとき、
点Ｏを除き、Ｏの近くでは、\(ｘ+ａ＜0\)　となって曲線上の点は存在
しません。このような点Ｏのことを、孤立点といいます。

(c)　a=0のとき
\(y=±ｘ^{3/2}（x>0)\) だから、ｙ軸の右側にｘ軸に関して対称な２つの
分枝があって、ともにx軸に接しています。このようなOを尖点（第１種）といいま
す。

Ⅱ)　\(y－ｘ)^2＝ｘ^2\)

\(ｙ＝ｘ^2±ｘ^{3/2} (ｘ≧0)\)となるから、\(ｘ＞0\)で２つの分枝があっ
て、点Oの近傍ではともに第１象限にあって、ｏでＸ軸に接します。このような
点を尖点（第２種）といいます。

Ⅲ) \(ｙ^2－ｘ^4＋ｘ^6＝0\)

曲線は、両軸に関して対称であって、\(ｙ＝±ｘ^2(\sqrt{1－ｘ^2}\)で
２つの曲線は、ともに点Ｏでｘ軸に接します。このような点を嘴点といいます。

一般に点Ｐが孤立点であるときは、関数はF(x,y)は、点Pで極値をとり、その値が
0になります。偏導関数でいえば、\(Fx＝Fy＝0、Fxy^2－Fxy＜0\)となっています。

Follow me!