2次曲線を極めよう-どのような解き方をするのか-

2次曲線について

高校で学ぶ2次曲線は、それほど多くはありません。楕円、双曲線、放物線などの円錐曲線がほとんどです。2次元\(o-xy\)座標で考える場合が多いですが、必要に応じて変数変換をしたり、極座標を用いたほうがやりやすいことがありますので、解く前にどういう方法で解くのか、方針を決めるようにしてください。
2次曲線は、離心率\(e\)を使うと、\(r=f(θ)\)の形式になり、統一的に表されることも要確認事項です。

2次曲線の問題

【問題1】

楕円\(x^2/a^2+y^2/b^2=1\) \((a>b>0)\)に、4辺が接する長方形の面積の最大値と、最小値を求めてください。

【問題2】

楕円\(x^2/3^2+y^2=1\)上の点を、\(P(3cosα、sinα)(0≦α≦π/2)\)とします。

(1)OPの長さが、\(3/\sqrt{5}\) 以上となるθの範囲を求めてください。

(2)原点Oと点Pを結ぶ線分とx軸との成す角をθとするとき、\(l α-θ l \) の最大値を求めてください。

【問題3】

\(AB=AC、BC=2\) の直角2等辺3角形\(ABC\)の各辺に接し、1つの軸が\(BC\)に平行な楕円の面積の最大値を求めてください。

【問題4】

Cを双曲線\(2x^2-2y^2=1\)とします。\(l、m\)を点(1,0)を通り、x軸とそれぞれ、θ、θ+π/4の角をなす2直線とします。ここで、θは、π/4の整数倍ではないものと考えます。

(1)直線lは、Cと相異なる2点P,Qで交わることを示してください。
(2)直線mとCの交点を、R,Sとするとき、
\(1/PQ^2+1/RS^2\)は、θによらない一定な値になることを示してください。

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