難関大入試問題演習－国立大理系－

国立難関大入試問題演習

以前東京医科歯科大の問題演習をしましたが、もう少し偏差値の高い国立大理系の入試問題演習をやってみましょう。特に医学部を意識すれば、7割以上の得点が必要になると思われます。数学は６問ありますから、４問完答+α（部分点狙い）が必要だと思います。

結構ボリュームのある問題セットですから、問題を見たら、全体をよく見て、自分にとって解きやすいものはどれなのか、の判断も必要になってくると思われます。

また、時間にも十分注意が必要です。６問で150分ですから、１問あたり25分になりますが、全完答する必要はありません。得意な分野や、問題文を見て何かひらめきそうなものがあるのかどうかも大切です。解答は次のリンクです。難関大入試問題演習－理系－

難関国立大入試問題（150分）（京都大学）

【問題１】
次の各問いに答えてください。

(1)ａが正の実数のとき、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \sqrt[1/n]{1+ａ^{n}}\)　を求めてください。

(2)次の定積分を求めてください。

\(\displaystyle \int_{ 1 }^{ \sqrt{3}} log(\sqrt{1+ｘ^2} dx\)

【問題２】

正４面体\(OABC\)において、点　\(P,Q,R\)をそれぞれ\(OA、OB, OC\)　上にとります。
ただし、\(P,Q,R\)は正４面体\(OABC\)の頂点とは異なるとします。
\(△PQR\)が、正三角形ならば、３辺\(PQ,QR,RP\)はそれぞれ３辺 \(AB, BC、CA\)に平行である事を証明してください。

【問題３】

実数ｘ、ｙが条件\(ｘ^2+ｘｙ+ｙ^2＝６\)を満たしながら動くとき、
\(ｘ^2ｙ+ｘｙ^2－ｘ^2－2ｘｙ－ｙ^2+ｘ+ｙ\)　がとり得る値の範囲を求めてください。

【問題４】

(1)　\(\sqrt[3]{2}\) が無理数である事を証明してください。
(2)　\(P(x)\)は、有理数を係数とするｘの多項式で、\(P(\sqrt[3]{2})＝０\)を満たしているとします。\(P(x)は、ｘ^3－２\)で割り切れることを証明してください。

【問題５】

次の命題　\(ｐ、ｑ\)が正しいかどうか答えてください。正しければそれを証明し、正しくなければ、反例を挙げてください。

(p) 正ｎ角形の頂点から３点を選んで内角の１つが60°である三角形を作ることができれば、ｎは３の倍数である。

(q) \(△ABCと△ABD\)において、\(AC<ADかつBC<BD\)ならば、\(∠C＞∠D\)である。

【問題６】

さいころをｎ回投げて出た目を順に\(X_1,X_2,･･･････,X_n\) とします。さらに、

\(Y_1=X_1, Y_k=X_k+1/(Y_{k-1})\) \(k=2,3,･･･････n)\)
によって、\(Y_1,Y_2,･････････,Y_n\) を定めます。

\((1+\sqrt{3})/2≦Y_n≦１+\sqrt{3}\) となる確率　\(p_n\)を求めてください。