指数・対数関数演習－解答編

指数・対数関数の問題

指数関数・対数関数は、互いに逆関数の関係にあります。その底ａは、計算上ａ＞0で定義され、ａ≠1とします。ａ＝１なら、指数関数\(y=ａ^x\)は、y=1の直線になりますし、対数関数　\(y=\log_{a}ｘ\)もｘ＝１になってしまって、指数・対数ではない直線になってしますからです。指数。対数関数演習　に問題のリンクがあります。

指数・対数の問題の解答

【問題１】

\(1<a<b<c\)　のとき、不等式　\(\log_{ a } (c/b)+\log_{ b } (a/c)+\log_{ c } (b/a)＞0\)
が成り立つことを示してください。

【解答１】

底を10に変換し、\(log10ａ＝ｘ,log10ｂ＝ｙ,log10ｃ＝ｚ\)とおくと、条件から、\(0＜ｘ＜ｙ＜ｚ\)であり、このもとに計算すると、
\(\log_{ a } (c/b)+\log_{ b } (a/c)+\log_{ c } (b/a)＞0\)

=\((z-y)/x+(x-z)/y+(y-x)/z=(y-x)(z-x)(z-y)/xyz＞0\)　となりますから、題意はなりたちます。

【問題２】

実数ｘ、ｙが、　\((\log_{ 3 } x)^2+(\log_{ 3 } y)^2＝\log_{ 3 } x^2－\log_{ 3 } y^2\)
を満たすとき,
\(\log_{ 3} x,　xy、x/y\)のとり得る範囲をそれぞれ求めてください。

【解答２】

\(log_{3}x=X, log_{3}y=Y\) とおくと、条件より、
\(X^2+Y^2＝2X-2Y\)　から、\((X-1)^2+(y+1)^2＝２\)･････①
①より、(X,Y)は、中心(1,-1)半径\(\sqrt{2}\) の円となります。

\(1－\sqrt{2}≦X≦1－\sqrt{2}\)　です。\(X+Y=ｋ1\)　とすれば、①とのとりうる範囲は、中心からの距離が、\(\sqrt{2}\)以下ですから、距離の公式を使って
\(-2≦ｋ1≦2\)です。従って、\(ｋ1＝\log_{3}x+\log_{3}y＝\log_{3}ｘy\)ですから、\(1/9≦ｘｙ≦9\)　となります。

同様にして、\(X-Y＝k2　とおけば、0≦k2≦4\)　となります。
\(k2＝\log_{3}x/y\)から、\(1≦x/y≦81\)　となります。

【問題３】

(x,Y)が　\(ｘ^2/4+ｙ^2/5＝１、ｘ＞0、ｙ＞0\)を満たすとき、
\(\log_{ 2 } x＋\log_{1/ 2 }(1/y) \) の最大値を求めてください。

【解答3】

\(ｘ＝2cosθ、ｙ＝\sqrt{5}sinθ\)　\(ｘ＞0、ｙ＞0より　0＜θ＜π/2\)　と置けます。このとき、
\(\log_{ 2 } x＋\log_{1/ 2 }(1/y) \)＝\(log_{2}(xy)\)

＝\(\log_{2}\sqrt{5}sin2θ\)　となります。
よって、２θ＝π/2のとき、最大値　\(log_{2}\sqrt{5}\) をとります。
このとき、\(ｘ＝\sqrt{2}、ｙ＝\sqrt{5/2}\) です。