整数解の問題－解答編－

整数解の問題

見かけは易しそうでも、やってみると難しい問題が多いのが、整数解の問題には結構あります。合同式を利用すると、答案がわかりやすくなる場合があります。合同式が使えるものは、使ってみましょう。なれるととても便利です。リンクに問題があります。整数問題－やさしそうで難しい問題の多い単元－

整数解の問題の解答

【問題１】

\(ｍ^2＝２^{n}＋１\)を満たす自然数m,nをすべて求めてください。

【解答１】

\(ｍ^2＝２^{n}＋１\)････････①
①で\(２^{n}＋１\)は、奇数ですから、ｍも奇数です。
よってm=2ｋ+1（ｋ≧0の整数）とかけます。これを①に代入して整理すると、
\(k(k+1)＝2^n/4\)･･･････②　となります。②を満たすｋ、ｎが存在するには、ｎ≧3　です。このとき、\(k(k+1)＝２^{n-2}\)　ですから、k(k+1)は、２の累乗となります。
k(k+1)は連続する２整数ですから、\(ｋ＝1、k+1=２^{n-2}\)となります。
これより、n=3で、これは、ｎ≧3を満たします。
以上から、m=3、n=３････（答)

【問題２】

次の(1)、(2)を証明してください。

(1) \(1+1/2^k+1/３^k+････････+1/ｎ^k\)　(ｋ≧2）は整数ではありません。

(2)\(1+1/2+1/3+････････+1/ｎ\)　は整数ではありません。

【解答2】

(1)1<\(1+1/2^k+1/３^k+････････+1/ｎ^k\)≦\(1+1/2^2+･････+1/ｎ^2\)
＜\(1+1/1･2+1/2･3+････････+1/(n-1)n＝2－1/ｎ＜２\)
従って、整数ではないことが証明されました。

(2)　\(S=1＜1+1/2+1/3+････････+1/ｎ\)とおくと、Sが整数でないとします。（ｎ≧2）このｎに対して、\(２^m≦ｎ＜2^m\)となるような自然数ｍがただ１つ存在します。ｎ以下のすべての奇数の積をKとすると、仮定から、
\(S･K･２^{m-1}\)は整数となりますが、
\(S･K･２^{m-1}＝1+1/2+1/3+･･+1/2^m+1/(2^m+1）+･･････+1/ｎ\)
＝（整数）+k/2≠整数　となり、矛盾です。従って題意は成り立ちます。

【問題３】

ａ，ｂを３より大きい素数とするとき、\(ａ^2－ｂ^2\)　は２４で割り切れる
ことを証明してください。

【解答３】

ａ、ｂは、３より大きい素数ですから、\(a,b≡±1、±5　(mod12)\)　とあらわせます。よって、ａ、ｂ＝５、12ｎ±1、12ｎ±5　であらわせます。
従って、\(ａ^2、ｂ^2\)は、２４で割ると１余りますから、\(ａ^2－ｂ^2\)は、２４の倍数となります。

【問題４】

連立方程式
\(ｘ+ｙ+ｚ＝240、97ｘ+56ｙ+3ｚ＝16047\)　の整数解を求めてください。

【解答４】

\(ｘ+ｙ+ｚ＝240･･････････①\)
\(97ｘ+56ｙ+3ｚ＝16047････････②\)

①－3ｘ②を計算すると、
\(41ｘ－53（289－ｘ－ｙ)＝10\)
ここで、\(289－ｘ－ｙ＝ｎ\)　とおくと、上式は、
\(41ｘ－53ｎ＝10\)　となります。
これは、\(12(3ｘ－4ｎ)+5(x-n)＝10\)･･･････③　は、
\(3x－4n=0、x－n＝2\)が　③式を満たしますので、
\(ｘ＝8、ｎ＝6\)　となります。
よって、\(41(8+53ｋ)－53(6+41ｋ)＝10\)　とかけます。
従って、\(ｘ＝8+53ｋ、n=6+41ｋでy=275－94ｋ\)　となります。

このうち、
\(ｋ＝0、ｘ＝8は、ｙ＝275\)　となり、不適
\(ｋ＝1、ｘ＝61は、ｙ＝181ｚ＝－2\)で不適
\(ｋ＝2、ｘ＝114は、ｙ＝87、ｚ＝39\)で適します。
\(ｋ＝3、ｘ＝167は、ｙ＝－7\)で不適

よって、\((x,y,z)＝(114,87,39)\)　が答えです。