融合問題演習－解答編－

融合問題

入試問題では、色々な単元を融合的に使って解くような問題が結構あります。今回はこのような問題を精選してみましたので、その解答編をしめします。リンクに講義と問題があります。次に講義と問題があります。融合問題演習

融合問題演習の解答

【問題１】
\(0＜ａ＜ｂ≦π/2\)のとき、不等式　\(a/b＜sina/sinb＜π/2･(a/b)\)　が成り立つことを証明してください。

【解答１】
\(a/b＜sina/sinb＜π/2･(a/b)\)･･････①
から、\(a>ｂ＞0ですから、sinb/ｂ＜sina/a\)･････②となります。

ここで、\(f(x)=sinｘ/ｘ\) とおけば、x>0で\(ｆ’(x)＝(ｘcosｘ-sinx)/ｘ^2\)ですから、さらに、\(g(x)=ｘcosx-sinx　とおくと、ｇ'(x)＝-ｘsinｘ＜０（0＜ｘ≦π/2）\)
となります。従って\(y=f(x)は、0＜ｘ≦π/2\)で単調減少になりますから、
\(0<a<b≦π/2　で　f(a)>f(b)≧f(π/2)\)　となります。

従って、\(sina/a＞sinｂ/ｂ≧(sinπ/2)/(π/2)＝1/(π/2)\)　となりますから、この逆数をとれば、\(a/sina)<b/sinb≦π/2\)　となりますから、
\(a/b＜sina/sinb＜π/2･(a/b)\)　が成り立ちます.(Q.E.D.)

【問題２】
m,nを自然数とするとき、\(ｍ^n＝ｎ^m\)を満たす自然数の組（m,n)をすべて求めてください。（金沢大改）

この問題には、誘導がついておりますが、本質的な問題のみを演習にしています。整数問題をどう解くかです。

【解答2】
\(ｍ^n＝ｎ^m\)の両辺の自然対数をとると、
\(ｎlogｍ＝ｍlogn\)から、\(logｍ/ｍ＝logｎ/ｎ\)･･･････②
となります。

ここで、m,nは自然数ですから、\(f(x)＝logｘ/ｘ（x>0)\)･･････③
とおけば、\(ｆ’(x)＝(1-logｘ)/ｘ^2\)　ですから、y=f(x)は、ｘ＝ｅで極大値をとります。また、\(f(m)＝f(n)\)･･････④ですから、
ⅰ）ｍ＝ｎのとき、④は成り立ちます。
ⅱ）ｍ≠ｎのとき、f(2)＝f(4)＝log2/2ですから、
④が成り立つのは、(m､n)＝（4,2）（2,4）です。

従って、求める自然数\((m,n)は、(m,n)＝(2,4)、(4,2)、(ｋ,ｋ)\)　となります。
ただしｋは任意の自然数です。

（注）現問題は、f(x)＝logｘ/ｘは、ｘ≧eで単調減少である事を示しなさい。
などの付随問題が加わっています。

【問題３】
２直線ｌ：ｙ＝－2/3ｘ+2、ｍ：ｙ＝ｘがあります。P1(0,2)とし、
P1を通りｘ軸に平行な直線と直線ｍとの交点をQ1
Q1を通りy軸に平行な直線と直線ｌとの交点をP２
P２を通りｘ軸に平行な直線と直線ｍとの交点をQ２
Q２を通りｙ軸に平行な直線と直線ｌとの交点をP3
以下同様にして、点Pn、Qn(n＝1,2,3,･･･････)とし、
また、点Pnのｘ座標をxn（n＝1,2,3･････)とします。

線分PnQnの長さをLｎとするとき、
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } L_n\) を求めてください。

【解答３】
\(Pn(xn,－2/3･xn＋2), Pn+1(ｘn+1,－2/3･ｘn+1＋2)\)
点Qnのｘ座標は、Pn+1のｘ座標に等しく、ｙ座標は点Pnのy座標に等しいから、
\(Qn(ｘn+1,－2/3･ｘn+２\)）で、Qnは、y=x上にあるから、
\(ｘn+1＝－2/3･xn＋２\)･･････①　の漸化式がえられます。

①より、\(ｘn+1－6/5＝－2/3(ｘn－6/5\)）から、
\(ｘn＝6/5{1－(-2/3)^{n-1}}\)･･････②

②から、\(Ln＝PnQn＝lｘn+1－ｘnｌ＝6/5･l (-2/3)^{n-1}－(-2/3)^{n} l
＝2・(2/3)^{n-1}\) となります。

よって、\(\displaystyle \sum_{ n = 1 }^{ ∞} Ln\)=６　となります。

【問題4】
正の実数a,b,cが、a+5b+7c＝12を満たすとします。
\(\sqrt{a}+\sqrt{5b}+\sqrt{7c}\) の最大値を求めてください。
（鳥取大改）

【解答４】
シュワルツの不等式より、実数p,q,r,x,y,zに対して、
\((ｐ^2+ｑ^2+ｒ^2)(ｘ^2+ｙ^2+ｚ^2)≧(ax+by+cz)^2\)･････①　が成り立ちます。

①でｐ=q=r=1、\(ｘ＝\sqrt{a}\),\(y＝\sqrt{5b}\),\(z＝\sqrt{7c}\) とおけば、
\((1+1+1)(a+5b+7c)≧(\sqrt{a}+\sqrt{5b}+\sqrt{7c})^2\)　となりますから、
\(\sqrt{a}+\sqrt{5b}+\sqrt{7c}\) ≦６となります。等号は、
\(\sqrt{a}＝\sqrt{5b}＝\sqrt{7c}＝２\)のときで,a=4、b=4/5、c=4/7のときです。
よって、求める最大値は、６となります。

（注）実際の問題は、導入があり、最後の問題のみ取り上げています。

【問題５】
ｎ≧10の自然数のとき、\(２^n＞ｎ^3\) が成り立つことを証明してください。

【解答５】
数学的帰納法で証明します。

ⅰ)n=10のとき、２^10＝1024、10^3＝1000　ですから、n=10のとき
なりたちます。

ⅱ)n=ｋ(≧10)のとき、題意が成り立つとすれば、
\(２^k＞ｋ^3\) ････････①

①に２をかけると、
\(2^{k+1}＞2ｋ^3\)･････②　となります。
ここで、\(２ｋ^3－(k+1)^3＝ｋ^3－3ｋ^2－3ｋ－1\)
＝\(ｋ(ｋ^2－3ｋ－3）－１\)
=\(ｋ((k－3/2)^2－21/4)－1\)≧669＞0（ｋ≧10)
よって、\(2^{k+1}＞(k+1)^3\)　となり、n=k+1のときも不等式は
成り立ちます。

以上より,数学的帰納法により、n≧10のとき、\(2^n＞ｎ^3\)　が成り立ちます。

【問題６】
ａを定数とし、\(f(x)＝ｘ^4－ｘ^3－3ｘ^２\)とします。曲線y=f(x)に点(0,a)から接線がただ1本引けるとし、かつこの接線はただ1点でこの曲線に接するとします。このとき、ａの値を求めてください。（大阪大）

標準的な問題だと思います。これは落とせないですね。

【解答６】
\(ｆ’(x)＝4ｘ^3－３ｘ^2－6ｘ\)　ですから、y=f(x)上の点、(t,f(t))における接線の方程式を求めると、\(y－(t^4－ｔ^3－3ｔ^2)＝(4ｔ^3－３ｔ^2－３ｔ^2)（ｘ－t)　となりますから、y=(4ｔ^3－３ｔ^2－３ｔ^2)(x-t)－3ｔ^4－ｔ^3+３ｔ^2\)　です。これが、(0,a)を通るので、
\(ａ＝－３ｔ^4－2ｔ^3+3ｔ^2\)･･････①　となります。

ここで、\(g(t)＝－３ｔ^4－2ｔ^3+3ｔ^2\)とし、\(y=g(t)とy=a\)のグラフを考えます。\(ｇ'(t)＝－12ｔ^3－6ｔ^2+6ｔ＝－6ｔ(t+1)(2t-1)\)となりますから、y=g(t)の増減表を書き、グラフを書きます。これが、ｙ＝ａとただ1点で接するときのａを求めればいいですから、ａ＝２となります。