図形と計量－解答編

図形と計量

図形と計量の問題の解説をいたしました。その解答を書いておきます。講義、問題編は、以下です。図形と計量－空間図形は頻出です－

図形と計量に関する問題

【問題１】
△ＡＢＣは鋭角三角形とします。このときすべての面が△ＡＢＣと合同な４面体が存在することを証明してください。（京都大）

【解答１】
BC=a、CA=ｂ、AB=ｃとします。３角形ABCは鋭角三角形ですから、\(ａ^2+ｂ^2＞ｃ^2、ｂ^2+ｃ^2＞ａ^2、ｃ^2+ａ^2＞ｂ^2\)となります。このとき、\(ｘ^2＝1/2(c^2+ａ^2－b^2)、ｙ^2＝ａ^2+ｂ^2－c^2)、ｚ^2＝(ｂ^2+ｃ^2－ａ^2\)　とおくと、右辺はすべて正であり、この3式を満たす正の数、x,y,zが存在します。ここで、垂直に交わる直方体で、3辺がx,y,zのものを構成すると、　\(ｘ^2+ｙ^2＝ａ^2、ｙ^2+ｚ^2＝ｂ^2、ｚ^2+ｘ^2＝ｃ^2\)が成り立ちます。直方体の４つの頂点を通る４面体は、4つの各面は合同である事が分かります。従って、各面すべてが△ＡＢＣと合同な４面体が存在することが証明されました。

【問題2】
1辺の長さが3の正４面体ＡＢＣＤがあり、辺ＢＤを2：1内分する点をＥとします。点Ｐが辺ＢＣ上を動き、点Ｑが辺ＣＤを動くとします。
(1)線分ＡＰ，ＰＱ，ＱＥの長さの和の最小値を求めてください。
(2)このとき、４面体ＡＰＱＥの体積を求めてください。

【解答２】
(1)　４面体の展開図を書いて考えます。４面体の展開図は、△BCDを真ん中において、AをA1、A2、A3とすれば、△ABC、△ACD、△ABDを開くと、正三角形△A1A2A3ができます。BDの2：１に内分する点が、Eですから、A2Dを2：1に内分する点をE’とすれば、AE’が最小値となります。なぜなら、AP+PQ+QE≧AP+PQ+QE’≧A1E’だからです。\(A1E^2＝6^2+2^2－2･6･2cos60°＝28\)　となりますから、求める最小値は、\(2\sqrt{7}\)です。
(2)底面を△PQEとすると、△PQE＝△BCD－（△BPE+△CQP+△DEQ）=\(\sqrt{3}/2\) 、また、\((高さ)^2＝3^2－(3sin^260°･2/3)\)＝6となりますから、高さ＝\(\sqrt{6}\)です。従って、４面体APQE＝1/3･\(\sqrt{3}\sqrt{6}/2\)=\(\sqrt{2}\)/2 となります。

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