数学的帰納法－犯人がわかっている推理－

数学的帰納法

数学的帰納法とは、自然数や整数に関する命題や式が、全ての自然数ないし整数で正しい事を証明する方法です。証明法は、いわゆるドミノ倒しであり、自然数であれば、まずⅰ)n=1のとき正しい事を証明し、ⅱ)n=kのとき正しいと仮定したとき、n=k+1のときも正しいことを言う証明法です。ⅰ)ⅱ）により、n=1が正しければ,n=2が正しい、さらにn=3が正しい･･････ことになり、全ての自然数nで正しいことが証明できるわけです。従って、証明すべき論理的結果は分かっているわけですから、やや易しいともいえますが、時に数学的帰納法で証明することはわかるけれど、式変形や論理展開がうまくいかない難しめの問題もあります。以前、全ての人はハゲであることを、数学的帰納法で証明してみましたが、あれは論理破綻しています。

数学的帰納法の問題

【問題１】
数列a_nがあって、a1＝1、a2=２とします。また、連続する3項 an、ａn+1、an+2 は、nが奇数のときに等比数列をなし、nが偶数のとき、等差数列をなすものとします。
(1)　a2m-1,a2m   (m=1,2,3,･･････)を求めてください。
(2)　a1からanまでの総和を求めてください。

【問題２】
各項が正である数列ａnが、任意の自然数ｎに対して、
\((a1+a2+a3+･････+an)^2\)＝\(a1^3+a2^3+･････+an^3\) を満たしているとします。このときanの一般項を求めてください。

【問題3】
ｎを自然数とし、P(x)をn次の多項式とします。P(0),P(1),P(2),･･････,P(n) が整数ならば、すべての整数kに対して、P(k)は整数である事を証明してください。

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