極限値について－解答編－

極限値について

極限値の基本と問題を提示いたしました。そこであげた問題の解答です。
関連する講義と問題は、ここにあります。極限値について－曲線の接線や導関数－

極限値に関する問題

【問題１】
実数a,bに対して、連続関数f(x)が、$\lim_{\ x \to 1} f(x)/(x-1)$=a, $\lim_{\ x \to 2} f(x)/(x-2)$=b を満たしているとします。
このとき、ab＞0の場合、1≦ｘ≦2　の範囲で f(x)=0 は少なくとも3つの解を持つことを証明してください。

【解答1】
f(x)は、連続関数ですから、f(1)＝$\lim_{\ x \to 1} f(x)$=$\lim_{\ x \to 1} f(x)/(x-1)$(x-1)=a･0＝0、同様にf(2)＝0　となります。よって、これらと条件式から、f'(1)＝$\lim_{\ x \to 1}( f(x)-f(1))/(x-1)$=a　となります。同様にして,f'(2)＝ｂとなります。ここで、g(x)＝$f(x)/(x-1)-f(x)/(x-2)$ とおくと、
$\lim_{\ x \to 1} g(x)$=$\lim_{\ x \to 1} f(x)/(x-1)$-$\lim_{\ x \to 1} f(x)/(x-2)$=a-0=a となります。同様に$\lim_{\ x \to 2} g(x)$=$\lim_{\ x \to 2} f(x)/(x-1)$-$\lim_{\ x \to 2} f(x)/(x-2)$=-b です。
よって、$\lim_{\ x \to 1} g(x)$･$\lim_{\ x \to 2} g(x)$=-ab＜0
また、$g(x)＝-f(x)/((x-1)(x-2)）$は、1＜ｘ＜2で連続ですから、中間値の定理から　g(x)=0すなわちf(x)＝0を満たす1＜ｘ＜２の実数ｘが存在します。これと、f(1)=0、f(2)=0から、題意は成り立ちます。

【問題２】
a＞0,b＞0のとき、$\lim_{\ x \to\infty } \sqrt[1/n]((a^n+ｂ^n)/2)$ を求めてください。
【解答２】
a≧ｂ＞0のときは、$a^n+b^n≦2a^n$　より、$a＜\sqrt[1/n]((a^n+ｂ^n)/2)$＜$\sqrt[1/n]2･a→a$（n→∞）
また、b≧a＞0のときは、同様にして、ｂに収束します。従って、$\lim_{\ x \to\infty } \sqrt[1/n]((a^n+ｂ^n)$＝max{a,b}です。よって、
$\lim_{\ x \to\infty } \sqrt[1/n]((a^n+ｂ^n)/2)$＝$\lim_{\ x \to\infty } \sqrt[1/n]((a^n+ｂ^n)/\sqrt[1/n]2$=max{a,b} となります。

【問題３】
lim(n→∞)$\sqrt[1/n]{1+1/2+1/3+\cdots+1/n}$　を求めてください。
【解答３】
１＜$\sqrt[1/n]{1}$＜$\sqrt[1/n]{1+1/2+\cdots+1/n}$=exp{1/n･(1+1/2+･･+1/n)｝＜exp｛logn/ｎ｝→１（ｎ→∞）

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