数学の証明法－解答編－

証明の問題

数学の証明法には、直接証明法、間接証明法などがあることを説明いたしました。命題が真であるときの証明ですが、偽であるときは反例を１つあげれば十分です。問題演習の解答編です。証明の解説と問題は、次にあります。数学の証明法

証明問題の解答

【問題１】

ｎを自然数、ｒを正の有理数とします。このとき  $\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } \frac{1}{xk}$ =r を満たす自然数の組　(x1,x2,x3,･･････,xn) の個数は有限であることを示してください。(東工大)

【解答１】

自然数の組(x1,x2,x3,･･････,xn)が有限であることを示せばいいことになります。x1≦x2≦x3≦･･･････≦xn　とおきます。
r=1/x1+1/x2+･･････+1/xn≦n/x1　となりますから、x1≦n/r　です。
ここで、x1は自然数ですから、x1=1,2,3,･･･････,[n/r]となり、x1は有限個となります。x1が、ある自然数mをとったとすると、1/m+1/x2+･･････+1/xn=r　となり、1/x2+･･････+1/xn=r-1/m=r’　です。x1と同様にして
r’≦(n-1)/x2から、x2=1,2,3･････,[(n-1)/r’] となりますから、x2も有限です。以下同様にすれば,x3,x4,･･･････,xn　もすべて有限となります。ここで、x1≦x2≦x3≦･･･････≦xn　の条件をなくしたとしても、数値の並べ替えをすれば、上の不等式になります。従って自然数の組(x1,x2,x3,････,xn)は有限です。

【問題２】

π/4<$\int_0^1 \sqrt{1-x^4} dx$<$\sqrt{2}/4･π$　を証明してください。

【解答２】

0≦ｘ≦1の範囲では、$x^2≧x^4$ ですから、$\sqrt{1-x^2}$≦$\sqrt{1-x^4}$となります。従って
$\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$<$\int_0^1 \sqrt{1-x^4} dx$です。また、$\int_0^1 \sqrt{1-x^4} dx$=$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\sqrt{1+x^2} dx$<$\sqrt{2}\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ です。ここで、
$\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$<は、x=sinθで置換積分すれば、$\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$＝π/4　となります。以上から、
π/4<$\int_0^1 \sqrt{1-x^4} dx$<$\sqrt{2}/4$･πとなります。

【問題３】

多項式列、P0(x)=0,P1(x)=1,P2(x)=1+x,･･･････,Pn(x)=$\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } x^k$ ･･･････　を考えます。

（１）正の整数n,mに対して、Pn(x)をPm(x)で割った余りはP0(x),P1(x),･････,Pm-1(x)のいずれかであることを証明してください。

（２）等式　P1(x)･Pm($x^2$)･Pm($x^4$)=P100(x)が成立する(l,m,n)をすべて求めてください。　　　(東大）

【解答３】

（１）ｎをｍで割った商をｑ、余りをｒとすると、(0≦ｒ≦m-1）n=mq+rとかけます。また、Pn(x)=$\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } x^k$=$x^{n-m}\displaystyle \sum_{ i = m-1 }^{ 0} x^k$+$x^{n-2m}\displaystyle \sum_{ i = m-1 }^{ 0} x^k$+････････+$x^{n-mq}\displaystyle \sum_{ i = m-1 }^{ 0} x^k$+$(x^{r-1}+･･･････+1）$＝$(x^{n-m}+x^{n-2m}+･･･････+x^{n-mq})$Pm(x)+Pr(x)  よって、Pn(x)をPm(x)で割るとあまりは、Pr(x)ですから、題意は証明されました。

（２）$Pl(x)Pm(x^2)Pn(x^4)＝P100(x)$･････①　において、$Pl(x)=1+x^2+････+x^{l-1}$ に1-ｘをかけると、$(1-x)Pl(x)=1-ｘ^l$ となります。同様にして、①に$(1-x)(1-x^2)(1-x^4)$ をかけると、$(1-ｘ^l)(1-ｘ^{2m})(1-x^{4n})$=$(1-x^2)(1-x^4)(1-x^100）$ となります。よって、l,2m,4nは、2,4,100となります。(*)これから、(l,m,n)＝(100,1,1),(2,50,1),(2,2,50)(4,1,25) となります。

(*)は厳密には、証明する必要があります。かなりの難問だといえます。場合わけして、求めてももちろん正解に達します。

【問題４】

次の数字のうち、すべては素数で無いことを証明してください。素数と合成数が含まれているということです。

３１

３３１

３３３１

３３３３１

３３３３３１

３３３３３３１

３３３３３３３１

３３３３３３３３１

【解答４】

３３３３３３３３１＝１７ｘ１９６０７８４３ですから、素数ではありません。従って、証明終わりです。他はすべて素数です。