場合の数と確率－解答編－

場合の数、確率の基本

確率や、期待値の問題は、場合の数を求める事からはじめます。全体の場合の数で起こりうる場合の数を割れば確率が求まります。集合論の加法定理や余事象もよく使いますから、演習を十分やっておきましょう。確率の問題の解答を書いておきます。

確率の問題の解答

【問題１】

１個のサイコロをｎ回投げる事象を考えます。n≧３の時に、１の目が少なくとも２回でて、かつ２の目が少なくとも１回でる確率を求めてください。（一橋大）

【解答１】

２の目がでない確率をｐ2とすると、\(ｐ2＝(5/6)^n\) 、１の目がでる回数が０か１である確率をｐ4とすると、\(p=(5/6)^n+n(1/6)(5/6)^{n-1}\) となります。１の目がでる確率が0か1で、２の目がでない確率をｐ5とすると、ｐ5とすると、\(ｐ5＝(4/6)^n+n(1/6)(4/6)^{n-1}\) となります。従って、求める確率は、１－(ｐ4+ｐ2-ｐ5)＝\({6^n-(n+10)･4^{n-1}-(n+5)5^{n-1}-5^n}/6^n\) となります。

【問題２】

１からｎまでの自然数を１つずつ書いたｎ枚のカードがあるとします。よく混ぜて１枚引いては戻すと言うことを２回おこない、１回目のカードの数と２回目のカードに書いてある数の差の絶対値を得点とする試行を考えます。

（１）この試行を１回行う時の期待値を求めてください。

（２）n=3とします。この試行を3回行う時、得点の合計が２である確率を求めてください。（広島大）

【解答２】
（１）１回目と２回目に引いたカードの数字を、それぞれx,yとすると、すべての(x,y)の組は、\(n^2\) 通りあります。
ⅰ)　lx-yl=0のとき
x-y=0になる組は、（1,1）、(2,2)、･･････(n,n)　のｎ通りです。
ⅱ)　lx-yl=ｋ(k≠0）のとき
x-y=k(k≠0)の組は、(k+1,1),(k+2,2),･･･････(n,n-k)　の（n-k)通りあります。また、x-y=-k(k≠0)の組みも、(n-k)通りありますから、あわせて2(n-k)通りあることになります。
よって、ⅰ）ⅱ）より、得点がｋとなる確率P(k)は、
P(0)＝\(n/n^2\)
P(k)＝\(2(n-k)/n^2\) (k=1,2,3･････,n-1)
これより、求める期待値Eは、E=\(\displaystyle \sum_{ i = 0}^{ n-1 } kP(k)\)=\(\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } kP(k)\)=\(\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } k･2(n-k)/n^2\)=
\((n^2-1)/3n\) となります。

【問題３】

ゲームを次のように行うものとします。サイコロを１回に２個ふり、１２の目がでたら、そこでゲームは終わり賞金を獲得するものとします。賞金を得る確率が1/2を越える確率とするには、2個のサイコロをふる回数を何回までとしたらいいでしょうか。その最小値はいくらですか。

【解答３】
この問題は、ド・メレが、パスカルに送った問題です。（1652年ごろ）もの質問に、パスカルは答えられませんでした。ホイエンスが正しい答えをだしています。

サイコロを２回ふる回数をｎ回とします。この問題は、１２の目が１度もでない確率が、1/2以下にになる最小値ｎはいくらか、ということと同じです。
従って、\((35/36)^n\)<1/2 となる最小のｎを求めればいいことになります。\((35/36)^24\)≒0.5086、\((35/36)^25\)≒0.4945 となりますから、求めるｎは、２５回です。