実力演習－発展問題演習－

難関大対応演習

今回は、実力を試す意味で、少し難し目の問題演習をやって見ましょう。解くのはた易くは無いかもしれませんが、ある程度時間をとって考えて見ましょう。

発展問題

【問題１】

0≦x≦1、1≦y≦2　を満たす全ての実数x,yに関して　\(0≦ax+by≦1\) をみたす点(a,b)を満たす範囲の面積を求めてください。（JMO)

【問題２】

ｎを正の整数、ａを実数とします。全ての整数ｍに対して、

\(m^2-(a-1)m+\frac{n^2}{2n+1}>0\) が成り立つようなaの範囲をnを用いてあらわしてください。（東大）

【問題３】

k>0　としたときxy平面上の２曲線　\(y=k(x-x^3) , x=k(y-y^3)\) が第1象限に、α≠β であるような交点(α,β)を持つようなｋの範囲を求めてください。（東大）

【問題４】

f(x)は、xの３次式で、f(x)をその導関数ｆ'(x)で割ったときの余りが定数であるとします。このとき、f(x)＝0を満たす実数ｘは、ただ１つである事を示してください。（京大）

【問題５】

定数ｐに対して、３次方程式 \(x^3-3x-p=0\) の実数解のうち最大のものと最小のものとの積をf(p)とします。もし、実数解がただ１つのときは、その２乗をf(p)と定義します。pが全ての実数を動くとき、f(p)の最大値を求めてください。（東大）

【問題６】

曲線 \(y=x^4-6x^2\) に点P(a,b)を通る4つの接線が引けるのは、(a,b)の範囲がどのような範囲にあるときでしょうか。（京大）