関数方程式－問題の解答編－

関数方程式の問題

関数の間に成り立つ関係式を表したものを関数方程式といいます。実数で微分可能な場合が多いのですが、微分法を使って説く場合が多くあります。

関数方程式の問題の解答

【問題１】

f(x)は全ての実数で定義された微分可能な関数で、

f(x)+f(y)＝f{(x+y)/(1-xy)}･････①、ｆ’(0)＝1を満たすものとします。

（１）このとき、\(ｆ’(x)＝1/(1+x^2)\)　であることを示してください。

（２）f(x)を求めてください。

【解答１】

①にx=y=0を代入すると、f(0)=0となります。

また、①でy=-xとおけば、f(x)+f(-x)=f(0)=0となりますから、f(-x)=-f(x)･･･②となります。

ここで、ｆ'(x)を計算すると、①、②によって

ｆ'(x)＝\( \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)=\( \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(-x)}{h}\)=\( \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \frac{1}{1+f(x+h)} \) x \(\displaystyle\lim_{h \to 0}f(\frac{h}{1+x(x+h)}) /\frac{h}{1+x(x+h)}\) ･････････③　となります。　　　　　　　h→0　のとき、\(\frac{h}{1+x(x+h)}\)→0となりますから、③から、ｆ'(x)＝\(\frac{1}{1+x^2}\) f'(0)=\(\frac{1}{1+x^2}\)･･････④ となります。　従って、f(0)=0　を考えて、f(x)＝\(arctan x\) となります。

【問題２】

関数f(x)が任意の実数x,yに対して

f(x+y)＝f(x)f(y)･･････①、ｆ'(0)＝1　を満たすとします。

（１）f(0)の値を求めてください。

（２）f(x)は、-∞<x<+∞で微分可能である事を示し、f(x)を求めてください。

【解答２】

（１）①でy=0を代入すると、f(x)(f(0)-1）＝0　となります。f(0)≠1とすれば、ｆ'(0)=1に矛盾しますから、f(0)＝1　です。

（２）\( \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)=\(\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x+0)}{h}\)=

\(\lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}\)\(f(x)\)=ｆ'(0)f(x)=f(x)　･･･････②　となります。よって、f(x）は、全ての実数で微分可能で、ｆ'(x)＝f(x)･･････③　です。ここで、y=f(x)　とおけば、y’=yですから、y=f(x)=\(Cｅ^x\)　です。f(0)=1ですから、C=１となり、f(x)＝\(e^x\)　となります。

関連記事は、下記リンクにあります。