曲線の曲率、曲率半径、曲率円　－曲線の変化の仕方－

曲線の変化がどうなっているのかを調べる方法

通常は、３次元座標で考えますが、ベクトル解析を使いますので、大学の範囲になります。ここでは、０-ｘｙの２次元座標で考えます。これであれば、割合理解しやすいと思います。

曲率の概念および定義

曲線y=f(x)上の点、P(x,y)、Q(x+Δx,y+Δy)における接線のx軸と成す角をθ、θ+Δθ　とします。ここで、曲線の弧PQの長さをΔsとすると、Δθ/Δs　の絶対値は、弧の長さ１あたりの接線方向の変化率を表していることになります。点Qを曲線y=f(x)上を動かして点Pに近づけたときに、その極限値、　κ=lim(Q→P)Δs/Δs　を点Pの曲率といいます。Δl=lPQl＝\(√((Δx)^2+(Δy)^2)\) とすると、lim(Q→P)Δs/Δl＝１となります。また、Q→Pならば、Δx→0ですから、$$lim(Q→P)Δs/Δx＝lim(Q→P)(Δs/Δl)･(Δl/Δx)＝√(1+(y”)^2)$$･･①　となります。y’=tanθ、Δy’=tan(θ+Δθ)-tanθ＝Δtanθ　とおくと、Δy’/Δx==(Δtanθ/Δθ)･(Δθ/Δs)･(Δs/Δx)　であり、Δx→0（Q→P)とすれば、$$y”＝(1+tan^2θ)･κ･lim(Δx→0)（Δs/Δx)＝(1+(y”)^2)^{3/2}･κ$$　となりますから、κ＝y”/{1+(y’)^2}^{3/2}}　となり、これが曲線y=f(x)の曲率となります。

曲率半径

曲率κの逆数ρを点Pにおける曲率半径といいます。すなわち

\(ρ＝1/κ＝(1+(y”)^2)^{3/2}/y”\)　がy=f(x)の点Pにおける曲率半径となります。

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