積分で表された関数－積分関数の解き方－

積分関数について

定積分の上端、下端およびその両端が、独立変数ｘで表された関数を積分関数といいます。例えば、積分で表された　F(x)＝∫(0~x)f(t)dt　のように表される関数です。f(x)はある区間で微分可能としますが、定義からＦ’(x)=f(x)････①が成り立ちます。このように積分で定義される関数は、よく微積分の問題として出題されます。

積分関数の問題例

【問題１】

関数f(x)を　f(x)=\(∫(0,x)1/(1+t^2)dt\)　で定めます。

（１）y=f(x)のx=1における法線の方程式を求めてください。

（２）(1)の法線とx軸およびy=f(x)で囲まれる部分の面積を求めてください。（京都大学）

【問題2】

f(x)は全ての実数xで定義され、正の値をとる連続関数であるとします。g(x)=∫(0,x)f(t)dt、\({f(x)}^2－{g(x)}^2=１\)　を満たすとします。

(1)　F(x)＝f(x)+g(x),　G(x)＝f(x)-g(x)　とするとき

d/dx{F(x)}＝F(x)、d/dx{G(x)}＝－G(x)　となることを証明してください。

(2)　f(x)を求めてください。　（大阪大学）