対称式と交代式－式計算の基本－

対称式について

式計算の工夫については、以前説明をしましたが、その基本的なものについて書いておきます。式変形をするときに、文字に関して対称的なものと、文字の入れ替えにより、式の符号がかわる交代式があります。このような式は、計算のやり方のによって計算スピードがかなり違ってきますので、式変形のやり方をマスターする必要があるとおもいます。

対称式は、文字を入れ替えたときに式が変わらないものをいいます。例えば、３文字で言うと、\(ｘ+ｙ+ｚ\)、\(x^2+y^2+z^2\)、\(xy+yz+zx\)　などは対象式です。一般に\(x,y,z\)の整式をｆ(x,y,z)とおくとき、\(ｆ(y,x,z)＝ｆ(x,y,z)\)　になるようなものが、対称式です。

そして対称式は、3文字の場合、基本対称式、\(x+y+z, xy+yz+zx, xyz \)で表す事ができます。例えば、\(x^2+y^2+z^2\)=\((x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\)となるのはご承知のとおりです。

交代式について

交代式は、ｆ(y,x,z)=－ｆ(x,y,z)　になるものです。例をあげると、

\(a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\)　はａとｂを代えると符号がかわります。そして、交代式は、\((a-b)(b-c)(c-a)\)を因数に必ず持ちますから、因数分解するときなどには、とても役に立ちますから覚えておいておくほうがいいと思います。

\(a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\)の因数分解は、ほとんど暗算でできます。与式は、文字に対して３次しきですから、\(a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\)＝
\(k(a-b)(b-c)(c-a)　(kは定数\)）とかけます。\(a^2b\)の両辺の係数を考えると、1=-kとなりますので、\(a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\)
＝\(-(a-b)(b-c)(c-a)\)　と直ちに因数分解できます。

対称式の扱い方

場合によっては、対称性を保ったまま計算するほうが、計算しやすいと思います。場合によっては、対称性をくずす方がよい時もありますが、対称的で綺麗なものは、そのままでやったほうがいい場合がかなり多いと思います。

対称式の問題例１

相異なる実数\(x,y,z\)が

\(x+y+z=6･････①　xy+yz+zx＝-9･･････②\)　の時に\(w=xyz\)の値の範囲を求めてください。

解１対称性を保つ方法

\(①、②、およびｗから、実数x,y,z\)は、tの３次関数\(t^3-6t^2+9t-w=0\)の実数解となります。従って

\(ｆ(x)=t^3-6t^2+9t=w\)･･･････③　となりますから、\(y=f(x)\)のグラフを微分を使って書き、グラフを考察すると、③が３実数解を持つのは、\(0<w<4\)　であることがわかります。これが答えです。

対称的な式の問題例２

\(x,y,z\)を正の実数とします。このとき

\(A=(x/(x+y)+y/(y+z)+z/(z+x)\) とします。このとき

（１）\(1<A<2\)である事を示してください。

（２）\(A=3/2\)となる時の\(x,y,z\)の条件を求めてください。

対称性を保つ解法例

（１）\(B\)=\(y/(x+y)\)+\(z/(y+z)\)+\(x/(z+x)\) とおきます。ここで、

\(A+B\)=\((x+y)/(x+y)\)+\((y+z)/(y+z)\)+\((y+x)/(z+x)\)=3です。

\(A\)>\(x/(x+y+z)\)+\(y/(x+y+z)\)+\(z/(x+y+z)\)＝１ですから、同様に\(B>1　もいえますから、1＜A＝３－Ｂ＝２となりますから、1＜Ａ＜2\)です。

（２）\(Ａ=1/(1+y/x)+1/(1+z/y)+1/(1+x/z)\)　ですから、

\(X=y/x,　Y=z/y,　Z=x/z　とおくと、XYZ=１,X,Y,Z＞０\)のときに

\(A=1/(1+X)+1/(1+Y)+1/(1+Z)=3/2\)･･････①となる時の、\(X,Y,Z\)の条件を求めればいい事になります。①式を整理し、\(XYZ＝１\)を使うと、

\(XYZ－１－(XY+YZ+ZX)＋(X+Y+Z)＝０\)となりますから、これより、

\((X-1)(Y-1)(Z-1)=0\)　となります。従って、\(X=1 or Y=1 or Z=1\) となります。従って、\(x=yまたはy=zまたはz=x\)　となります。

（注）問題例１も２も対称性をくずして計算しても解く事はできますが、計算が、かなり面倒となります。対称性のあるものは、対称性を保って解く事を考えると、計算量も解く時間も短くなると思います。