置換積分法の応用－ガンマ関数の紹介－

置換積分法

置換積分は、高校数学でも学ぶものですから十分な理解をしていなくてはなりません。合成関数の微分法にも通じるものですが、時々微分し忘れている例をよく見かけます。置換積分は、以下の仮定の元に被積分関数を例えばｘ＝g(t)であるとき、ｘに関する積分をｔに関する積分に変換するもので、応用上重要なものです。応用上重要な場合として、以下の仮定をします。

１°　積分区間　a≦x≦b　を含む　c≦ｘ≦d　においてf(x）は連続である。

２°　g(t)及びｇ’(t)は、区間[α,β] で連続で、ｔがαからβまで連続かつc≦g(t)≦dであり、g(α)＝a、g(β)=bであれば、

∫(a,b)ｆ(x)dx＝∫(α,β)ｆ(g(t))ｇ’(t)dt･･････①　で表されます。

ガンマ関数の紹介

ガンマ関数は、広義積分の範囲となり、やや定義式に慎重な取り扱いをしなければなりませんが、よく知られた自然数ｎのｎ！の拡張となりますので、紹介しておきます。

ガンマ関数　Γ(s)＝∫(0,∞)\(ｅ^{-x}ｘ^{s-1}\)dx･･････②で定義されます。

Γ(s)＝lim(n→∞)\(n!n^s\)/{n(n+1)･･････(ｎ+s)｝(s=0,-1,-2、････は除く）よって、Γ(s+1)=sΓ(s)　となります。従って、ｓが自然数ｎなら、Γ(n)=n!は明らかです。また、Γ(1-s)=-sΓ(-s)　となります。よって、1/Γ(s)Γ(1-s)=\(sΠ(1~∞)(1-s^2/n^2)\) となります。ここで、ｓ＝1/2とおけば、Γ(1/2)=√π　となります。Γ(1/2)の広義積分を、\(x=t^2\)と変換すれば、Γ(1/2)=∫(0~∞)\(e^{-x}x^{-1/2}dx\)=∫(0~∞)\(ｅ^{-x^2}･t^2･2t･dt\)＝2∫(0~∞)\(e^{-x^2}d\)t=√π　となります。これらは、2重積分を使っても求められます。

置換積分の問題

【問題１】

∫(0~π)\(\frac{x･sinx}{1+cos^2x}\)dx を求めてください。

【問題２】

∫(0~1)\(\frac{log(1+x)dx}{1+x^2}\)　を求めてください。