解析幾何学－問題の解答編－

解析幾何学について

デカルトにより創始された座標をつかって図形や曲線などの性質を調べる方法が解析幾何学です。問題をだしておきましたので、その解答を書いておきます。

解析幾何学の問題の解答

【問題１】

楕円 \(ｘ^2/a^2+y^2/b^2=1 \) （a>b>0）の接線が両座標軸によって切り取られる線分の長さの最小値を求めてください。（標準頻出問題）

【解答１】

この問題は、色々な解答が考えられるとおもいますが、少しテクニックを使ってみましょう。

接点を（ｘ0,ｙ0）とします。接線の方程式は、\(ｘ0ｘ/a^2+ｙ0ｙ/b^2＝１\)･････①となりますから、\(ｘ^2/a^2+y^2/b^2=1 \) （a>b>0）との交点は、

\(A(a^2/x0,0)\)、\(B(0,b^2/y0)\) となります。従って \(AB^2\) を求めると、①より、 \(AB^2\)＝\(ａ^4/x0^2+ｂ^4/y0^2\)＝\((a^2/x0^2)^2+(b^2)/ｙ0)^2)/((x0/a)^2+(y0/b)^2)\)≧\((a+b)^2\) となります。(Caucy-Schawartz です）

よって、求める最小値は、ａ＋ｂ　となります。等号条件も吟味してください。

（＊）接線を、ｙ＝ｐｘ+ｑとし、楕円①との接する条件を、重解条件から求めることもできますが、計算が面倒です。やってみてください。

 

【問題２】

（１）原点を中心とする半径１の円の外側にある点P(a,b)から、この円に２本の接線を引きます。このとき２つの接線を結ぶ直線の方程式を求めてください。

（２）点P(a,b)が楕円 \( x^2/9+y^2/4=1 \) の上を動く時に、（１）で求めたどの接線も決して通らない領域を求めてください。(横浜市立大）

【解答２】

（１）２つの接点を、(ｘ1、ｙ1）、（ｘ2、ｙ2）とします。単位円の2つの接線　ｘ1･ｘ+ｙ1･ｙ＝１、ｘ2・x+y1･ｙ＝１は、ともに、P(a,b)を通るから、　ａ･ｘi+ｂ･ｙi＝１（i＝1,2)となります。２接点はともに、ax+by＝1の上にあり、異なる2点を通る直線は、一つしかないから、求める直線は、ax+by＝1

（２）P(a,b)が楕円上を動くから、ａ＝3cosθ、ｂ＝2sinθとおくことができます。（0≦θ＜２π）よって、（１）の結果を用いると、接線は、　3xcosθ+2ysinθ=1･･････②　となります。②は、√\(9x^2+4y^2)\)sin(θ+α)=1･････③と変形できます。（三角関数の合成です。）従って、③を満たす(x,y)が存在しない領域が求めるものですから、\(x^2/(1/3)^2+y^2/(1/2)^2<1\)　となります。