整数解・有理数解の問題－解答編

整数解・有理数解について

ある方程式ないし関数について、その整数や有理数をみたすものの問題をあげておきました。ピタゴラス数すなわち、\( x^2+y^2=z^2 \) は、無数の整数解を持つことは、以前説明いたしました。この時に他の問題もあげておきましたので、その時に問題をあげておきましたので、その解答を書いておきます。

問題の解答

問題１】\(ｘ^2+ｙ^2＝２\) ･････①　は整数解ないし有理数解はもつのでしょうか。

【解答1】

①には、（1,1)の格子点を持ちます。従ってこの点を通り、傾きt(有理数）の直線を考えれば、容易に他の解を求めることができます。

【問題２】\( ｘ^2+ｙ^2＝３\) ･････②　は整数解ないし有理数解はもつのでしょうか。

【解答2】

略解を書いておきます。mod3で考えます。x,y≡0でなければ、\(x^2≡1かつy^2≡1\)　となります。従って、②を満たす整数解は存在しません。\(x^2+y^2=3z^2\) を前提として考えています。

【問題３】楕円曲線 \( ｙ^2＝ｘ^3+ｘ^2 \) ･････③は、整数解ないし有理数解をもつか調べてください。

【解答3】

③から、\( y=x√{x+1} \)　となります。

よって、\( x+1=m^2 \)　とすれば、\( y=(m^2-1)m \)　となり、③を満たす整数解は、無数に存在します。

【問題４】楕円曲線 \(ｙ^2＝ｘ^3-ｘ^2-ｘ+１\)･････④は、整数解ないし有理数解をもつか調べてください。

これも、問題3と同様にして解く事ができます。やってみてください。

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