挟み撃ちの原理－問題の解答

数列の極限値を求める方法

数列の極限値を求めるのに、不等式で評価して、下限と上限がともに同じ値に収束する時には、考えている数列は、その同じ値に収束します。挟み撃ちの原理といいます。問題をあげておきましたので、解答を書いておきます。

問題の解答

【問題１】

（１）$\displaystyle \sum_{ k= n }^{ 2n }\frac{1}{k}$　を求めてください。

（２）任意の定数$ａ＞０$に対して、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle \sum_{ k= n }^{ 2n } \frac{1}{a+k}$  は(1)と同じ極限値を持つ事を示してください。（東工大）

【解答１】

（１）$y=f(x)=1/x$とすると、

$\int_n^{2n} f(x) dx<\displaystyle \sum_{ k= n}^{ 2n }\frac{1}{k}<\frac{1}{n}+ \int_n^2n f(x) dx$･･････①　が成り立ちます。$y=1/x$のグラフを$x=n$から、$2n$まで$n$等分して、面積評価すれば、①が成り立つことは容易に分かります。①より、
$log\frac{2n}{n}＜ \displaystyle \sum_{ k= n}^{ 2n }\frac{1}{k} < \frac{1}{n}+ log\frac{2n}{n}$   ですから、$n→∞$とすれば、挟み撃ちの原理から、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{ k= n}^{ 2n }\frac{1}{k} =log2$ です。

（２）$f(x)=1/(a+x)$　とし(1)と同様に考えて、挟み撃ちの原理を用いると
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{ k= n}^{ 2n }\frac{1}{a+k} =log2$  となります。

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