挟み撃ちの原理－問題の解答

数列の極限値を求める方法

数列の極限値を求めるのに、不等式で評価して、下限と上限がともに同じ値に収束する時には、考えている数列は、その同じ値に収束します。挟み撃ちの原理といいます。問題をあげておきましたので、解答を書いておきます。

問題の解答

【問題１】

（１）\(\displaystyle \sum_{ k= n }^{ 2n }\frac{1}{k}\)　を求めてください。

（２）任意の定数\(ａ＞０\)に対して、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle \sum_{ k= n }^{ 2n } \frac{1}{a+k}\)  は(1)と同じ極限値を持つ事を示してください。（東工大）

【解答１】

（１）\(y=f(x)=1/x\)とすると、

\(\int_n^{2n} f(x) dx<\displaystyle \sum_{ k= n}^{ 2n }\frac{1}{k}<\frac{1}{n}+ \int_n^2n f(x) dx\)･･････①　が成り立ちます。\(y=1/x\)のグラフを\(x=n\)から、\(2n\)まで\(n\)等分して、面積評価すれば、①が成り立つことは容易に分かります。①より、
\(log\frac{2n}{n}＜ \displaystyle \sum_{ k= n}^{ 2n }\frac{1}{k} < \frac{1}{n}+ log\frac{2n}{n}\)   ですから、\(n→∞\)とすれば、挟み撃ちの原理から、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{ k= n}^{ 2n }\frac{1}{k} =log2 \) です。

（２）\(f(x)=1/(a+x)\)　とし(1)と同様に考えて、挟み撃ちの原理を用いると
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{ k= n}^{ 2n }\frac{1}{a+k} =log2\)  となります。

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