関数のパラメーター表示－問題の解答編

関数のパラメータ表示

関数のパラメーター表示は、ｙ＝ｆ(x)やｚ＝ｇ(x,y)などの関数の独立変数、従属変数を別の1つの変数、例えばｔやθなどで表示されたものです。パラメータ表示の問題をあげておきましたので、解答を書いておきます。

問題の解答

【問題１】

ｘｙ平面上の曲線で、曲線Ｃを以下のように定義します。

x＝(1+sinθ)cosθ

y=(1+cosθ)sinθ（－π＜θ≦π）

Ｃによって囲まれた領域をＤとすると、

（１）Ｃの概形とこの曲線の長さを求めてください。

（２）Ｄの面積を求めてください。

（３）Ｄをｘ軸の回りに１回転してできる回転体の体積を求めてください。（大阪市立大）

【解答１】

（１）ｘはθの偶関数、ｙはθの　奇関数ですから、曲線Ｃの、-π<θ≦0と　　　　　　　　　　0≦θ<πの部分は、x軸に関して対称です。

よって、π<θ≦0のときdx/dθ=-2sinθ(cosθ+1/2),dy/dθ=2(cosθ+1)(sinθ-1/2),となりますから、dy/dx=-(cosθ+1)(sinθ-1/2)/{2sinθ(cosθ+1/2)}となります。

これより、増減表を書き、Ｃの概形を考慮し、ｘ軸との対称性を考え、さらに、(dｘ/dθ)＾2+(dy/dθ)＾2=4cos＾2(θ/2)、従って、Ｃの曲線の長さは、2√((dｘ/dθ)＾2+(dy/dθ)＾2)dθ=８　となります。

（２）Ｄの面積も、対称性を考慮すると、

Ｓ＝２{∫(-1/4~2)ydx-∫(-1/4~0)ydx｝＝-2{∫(2π/3~0)ydx/dθ･dθ-∫(2π/3~π)ydx/dθ･dθ｝＝-2∫(0~π)y(dx/dθ)dθ＝2∫(0~π)(-2cos^4θ+cos^2θ+1)dθ＝3π/2･････（答）（Wallisの公式を使っています。）

（３）回転体の体積Ｖは、

Ｖ＝π∫(-1/4~2)ｙ^2･dx-π∫(-1/4~0)ｙ^2･dx=-π∫(0~π)ｙ^2･dx

＝π∫(0~π)(cosθ+1）^2･sin^2θ･(-sinθ)(2cosθ+1)･dθ

＝π∫(0~π)(cos+1)^2･(2cosθ+1)･sin^3θ･dθ　･････①

ここで,t=cosθと置換すると

Ｖ＝π∫(1~-1)(t+1)^2(2t+1)(1-t^2)(-dt)＝8/3･π･･････（答）

計算は、相当面倒です。 一部詳細計算は、省略してあります。

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