数学の２３の問題－ヒルベルトが1900年に提案した問題－

ヒルベルトの２３の数学の問題

１９００年にパリで開かれた第２回国際数学者会議で、ゲッティンゲン大のヒルベルトは、２０世紀に解決されるべき数学上の２３の問題を提起いたしました。２０世紀の数学の発展は、ある意味でヒルベルトの２３の問題を解決する中で、発展してきたといえるのかもしれません。この中の問題は２０世紀に解決されてものがほとんどですが、この中で、第８問題のリーマン予想は、いまだに未解決です。２１世紀を迎えた２０００年には、アメリカのクレイ数学研究所が、２１世紀に解決すべき問題として未解決の７つの数学の問題をあげました。これには、１００万ドルの懸賞金が掛けられています。

ヒルベルトの数学の問題に関する日本人の貢献

第１４問題は、不変式系の有限性の証明でしたが、これは日本の永田雅宣（京大）によって反例が示され、否定的に解決されています。また第１２問題は、類対の構成問題です。高木貞二（東大）はヒルベルトの下に研究にゲッティンゲンにいっています。日本に帰って研究を続けることになりますが、第１次世界大戦により、ヨーロッパから論文が届かなくなり、独自に類体論を完成させています。ある意味で高木貞二の貢献は大きかったともいえると思います。高木貞二は、１９３２年には、第１回のフィールズ賞選考委員になっています。

その他の面白い問題としては、第１８問題に、結晶群の敷き詰めの最密充填問題があげられています。これは、ケプラー問題とも言われます。最密充填の結晶構造は、ｆｃｃとｈｃｐです。

ミレニアム問題－クレイ数学研究所

２０００年に２１世紀に解決すべき７つの数学上の問題があげられています。簡単にどんな問題なのかをあげておきます。

・ポアンカレ予想（２００２年にロシアのペリルマンにより解決）

・リーマン予想（ヒルベルトの第８問題でもありました。）

・ホッジ予想

・ＢＳＤ予想（楕円曲線と無限遠点のアーベル階数が、Ｌ(Ｅ，ｓ）関数のｓ＝１に対応する

・ヤン・ミルズ方程式の質量ギャップ問題

・ナビエ・ストークス方程式の解の存在と滑らかさ（流体力学の問題）

・Ｐ≠ＮＰ問題

計量計算理論においてクラスＰとクラスＮＰが等しくないと言う予想です。ある問題をコンピューターで解く時にその問題を解くためのビット数をＮとし、それを解く手順が存在すれば、問題はクラスＰに属するといいます。ＰもＮＰも問題の集まりですが、Ｐ⊂ＮＰが、Ｐ＝ＮＰなのか、Ｐ≠ＮＰなのかどちらかと、言う問題です。

その他の未解決問題

数学には、まだまだ多くの未解決問題が残っています。数学者が落ち着けるときはないのかも知れません。整数や素数に関する未解決問題が結構あります。

・ゴールドバッハの予想：４以上の偶数は、２つの素数の和で表される。

・カタラン予想：\(ａ^x－ｂ^y＝１\)　を満たす自然数ａ、ｂの解は、ａ＝３、ｂ＝２、ｘ＝２、ｙ＝３のみである。（２００２年に解決）

・完全数の総数問題：完全数はいくつあるのか。（４０くらいみつかっています。）

・双子素数の問題：ｐ、ｐ＋２がともに素数になるものは無数に存在する。

・エルデスの予想：素数のみで任意の等差数列を作ることができる。

・フェルマー数：\(Ｆn＝２^{2^n}＋１\)で表される素数は、\(n=０，１，２，３，４\)　のみである。