計算問題－正確さとスピード､解答編－

計算問題は、正確さとスピードが求められます

入試問題にせよ、資格試験にせよどのような試験にも制限時間があります。このために、時間内に正答を出さなければならない訳ですが、ここに試験問題の難しさがある訳です。問題演習をやらなければならない所以でもあります。以前提示した問題の解答を書いておきます。

問題１の解答

問題は、下記のものでした。

関数\(ｆ(x)＝ｘ^3－２ｘ^2－３ｘ＋４\)の、区間－7/4≦ｘ≦３での最大値と最小値を求めてください。(東大　文系）

この問題は、何も特殊な解法も考え方もいりません。通常のやり方で問題を解くだけなのですが、計算がとても複雑になります。これをどうクリアーするかがキーポイントになります。問題をみたら、計算するだけです、と言われると思いますが、正解に何人到達できるか、と言うような問題です。

【解答】

\(ｆ(x)＝ｘ^3－２ｘ^2－３ｘ＋４\)　より、\(ｆ'(x)＝３ｘ＾2－４ｘ－３＝０\)を解くと、ｘ＝（２±√１３）/３　です。ここで、

α＝(２-√13)/3、β＝(２+√13)/3 とおくと、最大値は、ｆ(α）か、ｆ(3）となります。ｘ＝αで極大値、ｘ＝βで極小値をとります。また、最小値は、ｆ(β）かｆ(-7/4）のどちらかになることが分かります。

ここで、（α、ｆ(α)）を通って、ｘ軸に水平な直線（すなわちｘ＝αにおける接線になります。）とｙ＝ｆ(ｘ)との交点を考えると、ｘ＝αが極大値である事を考えると、ｆ(x)＝ｆ(α)の解は、α、α、α’とおけます。

つまり、\(ｘ^3－２ｘ^2－３ｘ＋４＝α^3－２α^2－３α＋４\)の解が、α、α、α’とおけることになります。従って、これを３次方程式と見て、解と係数の関係を使うと、α+α+α’＝２ですから、α’＝２－２α＝(2+2√13)/3そこで、α’－３＝(2+2√13)/3－3＝(√52－√49)/3＞０となり、

α＜０＜３＜α’　となりますので、－7/4≦ｘ≦３の範囲ではｘ＝αで最大値をとることが分かります。

同様に、ｆ(x)＝ｆ(β）の解をβ’とすると、上記の議論と同様にして、

２β＋β’＝２となり、β’＝(2－2√13)/3ですから、

β’－（－7/4）＝（√841－√832)/12＞０となり、

－7/4＜β’＜０＜βなので、－7/4≦ｘ≦３の範囲では、ｘ＝－7/4で最小となります。ｆ(α）は、ｆ(x)をｆ’（x)で割り算すると、

ｆ(x)＝ｆ’(x)｛1/3･ｘ－2/9｝－26/9・ｘ+10/3　となりますから、

ｆ(α)＝－26/9・α＋10/3＝（38+26√13)/27　となります。

また、ｆ(－7/4)＝－143/64

従って、最大値は、（38+26√13)/27、最小値は、－143/64　です。

問題２は領域を求め、計算してみてください。

この解答の記事は、下記リンクにあります。