式の計算・式の見方－計算の工夫－

計算にもやり方があります

一見ややこしそうな式も、よく見れば対称的になっているものや、同じ形式になっているものが良くあります。こう言うものも、ひたすら計算していけば、解けるのでしょうが、せっかく法則性のある式は、工夫をして計算していきたいものです。同じ形式の式があれば、引いてみるのも一つの方法ですし、等式であれば、ｋとおいてみるのも一方です。。

同形の式変形の例をあげておきます。

【例題１】

ｘ＋1/ｙ＝ｙ+1/ｚ＝ｚ+1/ｘでｘｙｚ≠０が成り立っているとします。ただし、ｘ、ｙ、ｚは相異なるものとします。このとき、この等式の値を　求めてください。

解答

各式を引き算すると、

ｘ－ｙ＝(ｙ－z)/ｙｚ････････①

ｙ－ｚ＝(ｚ－ｘ)/ｚｘ･･････②

ｚ－ｘ＝(ｘ－ｙ)/ｘｙ･･････③

①、②、③　を掛け算すると、

(ｙ－z)(ｚ－ｘ)(ｘ－ｙ）＝(ｙ－z)(ｚ－ｘ)(ｘ－ｙ)/(ｘ^2ｙ^2^ｚ^2)となります。これを、(ｙ－z)(ｚ－ｘ)(ｘ－ｙ）≠０で割れば、ｘ^2･ｙ^2･^ｚ^2＝１となり、ｘｙｚ＝±１となります。･････（答）

別解

等式の値をｋとおいてオーソドックスに解く手も良く使います。やってみてください。

【例題２】

ａ、ｂ、ｃを相異なる実数とし、ｘ、ｙ、ｚが、

\(ｘ+ａｙ+ａ^2ｚ＝ａ^3\)･･････①

\(ｘ+ｂｙ+ｂ^2ｚ＝ｂ^3\)･････②

\(ｘ+ｃｙ+ｃ^2ｚ＝ｃ^3\)･･････③

の解とするとき、\(ａ^3+ｂ^3+ｃ^3\)　をｘ、ｙ、ｚで表してください。

解答

各式の差をとると、①－②から、

\(（ａ－ｂ）ｙ+（ａ^2－ｂ^2）ｚ＝ａ^3－ｂ^3\)

（ａ－ｂ)(ｙ＋（ａ＋ｂ）ｚ)＝\(（ａ－ｂ)(ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2)\) より、

ａ－ｂ≠０から、ｙ＋（ａ＋ｂ）ｚ＝\(ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2\)･････④

同様にして、ｙ+（ｂ＋ｃ)ｚ＝\(ｂ^2＋ｂｃ＋ｃ^2\)･････⑤

④－⑤を計算すると、

（ａ－ｃ）ｚ＝（ａ－ｃ)(ａ＋ｂ+ｃ）ａ≠ｃより、

ｚ＝ａ＋ｂ+ｃ･････⑥

⑥を④に代入すると、ｙ＝－(ab＋bc+ca)　･････⑦

⑥、⑦を①に代入すると、ｘ＝ａｂｃとなります。

従って、\(ａ^3＋ｂ^3+ｃ^3＝ｚ^3＋３ｙｚ＋３ｘ\)　となります。

もう少し工夫も出来るように思いますが、まずは、このような

式展開をマスターする事も重要です。解と係数の関係を使っても出来ます。

別解

①、②、③から、ａ、ｂ、ｃは、\(ｔ^3－ｚｔ^2－ｙｔ－ｘ＝０\)の相異なる解と見ることが出来ます。従って解と係数の関係から、

ａ＋ｂ＋ｃ＝ｚ

ａｂ＋ｂｃ+ｃａ＝－ｙ

ａｂｃ＝ｘ

\(ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3－３ａｂｃ＋３ａｂｃ\)

＝\(（ａ＋ｂ+ｃ)(ａ^2＋ｂ^2+ｃ^2－ａｂ－ｂｃ－ｃａ）＋３ａｂｃ\)

となりますから、これを上記の基本対称式で表せばいいことになります。これ以降の計算は容易ですから、やってみてください。

式計算に関する問題例

少し難しいかもしれませんが、式計算に関する問題をあげておきます。

【問題１】

ａ、ｂ、ｃを相異なる整数とし、Ｐ(x)を整数係数の多項式とします。このとき、Ｐ(ａ)＝ｂ、Ｐ(ｂ)＝ｃ、Ｐ（ｃ)＝ａ　にはなりえない事を証明してください。

【問題２】

ａ、ｂ、ｃは相異なる数とするとき、次の式を計算してください。

Ｉ＝\(ａ^2\)/{(ａ－b)（ｂ－ｃ)(ｘ－ａ)}＋\(ｂ^2\)/{(b－c)（b－a)(ｘ－b）＋

\(ｃ^2\)/{(c－a)（c－b)(ｘ－c)}