包絡線－ある図形に接する曲線－

包絡線とは

包絡線とは、ある関数が、パラメーターを含んでいる時に、そのパラメーターを変化させたときに、その関数全てに接する曲線の事を言います。曲線は、陽関数表示されてもいいですし、陰関数表示されていても構いません。陰関数表示の場合は、偏微分することになります。

包絡線の例

包絡線の例をあげてみます。

【問題】ｔをパラメーターとする直線群　\(ｙ＝2ｔｘ－ｔ^2\)が、０≦ｔ≦１の範囲を動く時、直線が動く範囲を求めてください。

【解答】

与えられた式　\(ｙ＝2ｔｘ－ｔ^2\)･･････①　をｔの方程式とみると、

\(ｔ^2－２ｔｘ+ｙ＝０\)･･･････②　となります。②をｔについ平方完成すると、

\((ｔ－ｘ）^2+（ｙ-ｘ^2）^2＝０\)･･･････③

③は、\(（ｙ-ｘ^2）^2＝０\)･･････④　すなわち\(ｙ＝ｘ^2\)　と　②を連立させて、交点を求めれば、その交点のｘ座標が、\(（ｔ-ｘ）^2＝０\)より求めることがきます。つまり、\(ｙ＝ｘ^2\)と　②がｘ＝ｔで接することを意味しています。そこで、\(ｙ＝ｘ^2\)のｘ＝ｔの接線が、接点の座標をｔとして、０≦ｔ≦１の範囲に動かした時の、接線群を求めればいい事になります。

【別解】

2次関数論としても解けます。問題は、\(ｙ＝2ｔｘ－ｔ^2\)　を満たすｔが０≦ｔ≦１となる（ｘ、ｙ）の条件を求めればいい事になります。

\(ｔ^2－２ｔｘ+ｙ＝０\)　ですから、ｔに関する2次方程式が、０≦ｔ≦１の範囲に少なくとも１つの実数解をもつ条件を求めればいい事になります。

包絡線に関する問題

【問題１】

ｔが、０＜ｔ＜２の範囲を動く時、ｘｙ平面上で、点\(（０、ｔ^2+４）\)と点（ｔ/２＋２/ｔ、０）を結ぶ線分が動く範囲を求めてください。（図示）

【問題２】

ｔがｔ＞０の範囲を動く時に、ｘｙ平面上で、直線ｙ＝ｔｘ+√(ｔ^2+１）の通過する領域を求めてください。（図示してください。）