広義積分－定積分の拡張－

定積分の拡張

通常のテー積分では、関数f(x)が、有限な閉区間[a,b] で連続であるという前提で定積分を考えてきました。このような定積分は、さらに考え方を拡張して、有限な閉区間[a,b] 内に不連続点がある場合や積分の限界が有限で無い場合にも拡張して考えてみます。このような定積分を、広義積分と言います。

広義積分１

有限区間に不連続点がある場合

ａ＜ｂ　として考えます。

①　下端ａだけで不連続の場合

②　上端ｂだけで不連続の場合

③　上端と下端だけで不連続の場合

④　区間内に不連続点がある場合

が考えられます。いづれの場合も、同様な考え方で定義できます。

①の場合を考えて見ましょう。

ε＞０はどんなに小さくとっても[a+ε、b] の区間では、積分可能ですから、∫(a+ε,b)ｆ(x)･dx　は存在します。lim(ε→+0)∫(a+ε,b)ｆ(x)･dx　が存在し、有限確定値を持つ時に、

∫(a,b)ｆ(x)･dx＝lim(ε→+0)∫(a+ε,b)ｆ(x)･dx　と定義します。例をあげておきましょう。ｆ(x)＝１/√ｘは、ｘ＝０では有限ではありませんが、　ε＞0をどんなに小さくしても、[ε、1] では連続ですから、

∫(ε、1)１/√ｘ・dx＝2(１－√ε）となります。

従って、lim(ε→+0)∫(ε,１)ｆ(x)･dx＝lim(ε→+0)2(１－√ε）＝２となりますから、∫(0,1)１/√ｘ･dx＝２　となり積分値を持ちます。

他の②、③、④も同様に定義でき、極限値が有限確定値を持つ時には、積分可能と言う事になります。

広義積分　２

積分の限界が、有限ではない場合

これは、３つの場合に分かれます。

①　（－∞、ｂ）の区間での、∫(－∞,b)ｆ(x)･dxの定義

②　（ａ、+∞）の区間での、∫(a,+∞)ｆ(x)･dxの定義

③　（－∞、+∞）の区間での　、∫(-∞,+∞)ｆ(x)･dxの定義

例をあげておきましょう。１/ｘ^2は、(1,+∞）で微分可能ですから、

∫(1,+∞)１/ｘ^2･dx＝lim(ｂ→∞)１/ｘ^2･dx＝lim(ｂ→∞)(１－１/ｂ)=１となります。他の積分も極限値が有限確定なら、広義積分を同様に定義することが出来ます。