２次曲線－問題の解答編－

２次曲線について

２次曲線については、既に説明していますので、十分復習をしてください。下記のリンクに説明があります。

２次曲線の問題

問題は、下記のものでした。

点Ｐより放物線ｙ＝ｘ^2に相異なる2本の接線が引け、その接点をＱ，Ｒ

とします。角ＱＰＲが４５°であるような点Ｐの軌跡を求めてください。

（名古屋工業大）

【解答】

Ｑ（ｑ、ｑ^2）、Ｒ（ｒ、ｒ^2）とおくと、ｑ＜ｒとしても一般性は失われない。Ｐ（ｘ、ｘ^2）に対し、ｑ＜ｘ＜ｒであり、ｙ＝ｘ^2の時、ｙ’＝２ｘですから、Ｑ、Ｒにおける接線は、それぞれ、

ｙ＝２ｑ(ｘ－ｑ）+ｑ^2＝２ｑｘ－ｑ^2、ｙ＝２ｒｘ－ｒ^2　となります。これから、交点Ｐのｘ座標を求めると、ｘ＝（ｑ+ｒ）/２、ｙ＝ｑｒとなります。よって、交点Ｐは、（(q+r)/2、qr)　となります。QRの傾きは、２ｑ、RPの傾きは２ｒですから、tanの加法定理から、

tan45°＝（2q-2r)/（1+4qr)　となります。よって、

２(ｑ-ｒ）＝１＋4ｑｒ･････①

１+４ｑｒ＜０･･････②

４(ｑ－ｒ）^2＝（1+4ｑｒ）^2･･････③

③より、４｛(ｑ+ｒ）^2－４ｑｒ｝＝（１+４ｑｒ）^2　･････④

④から、ｑ、ｒを消去すると、

4（4ｘ^2－４ｙ）＝（１＋４ｙ）^2　となり、

（ｙ+3/4）^2－ｙ^2＝１/２で、②より、ｙ＜－１／４（双曲線の下の部分になります。）

となります。

 

直線の交角は、一般的にtanの加法定理で求めますが、直線がx軸に垂直であったり、交角が、９０°である場合は、この方法は使えません。

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