微分方程式－問題の解答編－

微分方程式について

微分方程式については、下記リンクに説明をしておきました。ここでは、その時の問題の解答を書いておきます。

微分方程式の問題

【問題】微分方程式

曲線群xy＝ｃ（ｃは0でない任意の実数）とそれらの全ての交点で接線が互いに直行する曲線群を求めてください。

問題は、このようなものでした。

【解答】

曲線上の点Ｐ（ｘ、ｙ）、ｘｙ≠０に対して、ｙ＝ｃ/ｘ･･････①

ｙ’＝－ｃ/ｘ^2･･････②　となります。よって、任意のｃについて、①、②が成り立つ事から、ｃを消去すると、

ｙ’・(－ｙ/ｘ）＝－１･････③　となります。

従って、③より、ｘｄｘ＝ｙｄｙとなりますから、両辺を積分すると、

ｘ^2－ｙ^2＝Ｃ（Ｃは定数）となります。（双曲線です。）

微分方程式の例　Ⅱ

もう一つ、微分方程式の例を挙げておきます。通常大学で学ぶものですが、このような問題も誘導をつけて出題されることが、よくあります。

【問題】

ｘの関数ｙが微分方程式　ｙ’’－ｙ＝２sinｘ･････①　を満たすものとします。このとき、ｙ＝ｅ^x・ｕ－sinｘ･････②　とおく事により、①の微分方程式を解いてください。（早大　理工）

「このような微分方程式を、２階非斉次常微分方程式といいます。右辺＝0の斉次微分方程式を解き、②のようにおいて解く事になります。」