実数論－問題の解答編－

 

実数論について

実数論では、デデキントによって、切断と言う概念で明確に１つの実数が定義され、連続であると言うお話をいたしました。ここでは、実数に関する問題をあげておきましたので、問題の解答を書いておきます。

問題とその解答

【問題】問題は以下のものでした。

ある区間で定義された２つの連続関数、f(x)、g(x)がその区間の全ての有理数で 　f(x)＝g(x)　であれば、その区間の全ての値に対して、f(x)＝g(x)　である事を証明してください。

【証明】

この区間に属する任意の無理数をωとし、ωに収束する区間の有理数の数列を、｛ｒn｝とします。仮定によって

ｆ(ｒn）＝ｇ(ｒn)･･････････①　となります。

ここで、f(x)もｇ(x)もｘ＝ωで連続ですから、

lim(ｎ→∞）ｆ(ｒn）＝lim(ｒn→∞）ｆ(ｒn）＝ｆ(ω）･････②

lim(ｎ→∞）ｇ(ｒn）＝lim(ｒn→∞）ｇ(ｒn）＝ｇ(ω）･････③

①、②、③より、ｆ(ω）＝ｇ(ω）となります。

ωは、区間の任意の無理数であり、仮定から全ての有理数値に対して

ｆ(x)＝ｇ(ｘ）ですから、区間内の全ての実数値について、

ｆ(x)＝ｇ(ｘ）が成り立つことになります。（Ｑ．Ｅ．Ｄ）

（注）極限値は、厳密には、ε-δ論法を使う必要があります。

 

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