数学的帰納法－全ての人はハゲであることの証明(笑）－

数学的帰納法について

数学的帰納法は、あるn（整数）に関する命題があって、全てのｎについて証明する方法を言います。これに対して、論理的な思考で議論する事を演繹といいます。数学的帰納法では、ｎ＝１の場合を証明し、ｎ＝ｋであるときに命題が成り立つと仮定します。（１≦ｋ≦ｎを仮定することもあり増す。その仮定のもとに、ｎ＝ｋ＋１の場合が成り立つ事を証明する方法です。ｎ＝１が証明されていますから、ドミノ倒し的に全てのｎについて成り立つことが証明できる事はよくご存知の通りです。

数学的帰納法によるハゲの証明

０）ハゲの人は、明らかにハゲです。

１）ハゲの人に、１本毛が生えたとしても、ハゲに変わりはありません。

２）１）を仮定して、もう一本毛が生えても、これもハゲです。

３）従って、数学的帰納法により全ての人は、ハゲです。

ちょっと、変ですか？でも数学的帰納法の手順はこのようなやり方に近い物です。

まともな数学的帰納法

全ての自然数について、３^(2n)－8ｎ－１･･････①　は、６４の倍数である事を証明してください。

証明

１）ｎ＝１の時に、①は成り立ちます。

２）ｎ＝ｋの時、①が成り立つと仮定すると、３^(2ｋ)－8ｋ－１=64ｍとかけます。

ｎ＝ｋ＋１の時を考えると、

３^2(ｋ+1)－8(ｋ+１）－１＝９･３^2k－８ｋ－９

＝９(３^2k－1)－8ｋ＝９(8ｋ＋６４ｍ）－8ｋ

＝６４(ｋ＋９ｍ）＝６４の倍数

従って、１）２）より数学的帰納法により、全ての自然数に対して、題意は成り立つことになります。

問題

ｎを自然数、P(x)をn次の多項式とします。P(0)、P(1)、･････P(n)が整数ならば、全ての整数ｋに対して、P(k)は整数である事を証明してください。