実数論－実数とは何か、有理数と無理数と超越数とは－

実数とは何でしょうか

われわれは、単純に実数と言う言い方をしますが、実数を正確に定義することは出来るのでしょうか。数の体系としては、自然数Ｚ、整数Ｉ、有理数Ｑ、実数Ｒ、そして複素数Ｃと言う集合を考えることが出来ます。そして、Ｚ⊂Ｉ⊂Ｑ⊂Ｒ⊂Ｃ　と言う論理体系となっています。

実数を精密に定義したのは、ドイツのデデキントと言う数学者です。それまでは、定義が曖昧なものでしたが、デデキントによって厳密な定義が成されました。

デデキントの切断の考え方

実数は、身近なものですから余り意識しないでも、その稠密性を感じることが出来ると思いますが、数の連続性は解析学の基礎ですから、これを厳密に定義しなければなりません。

ドイツのデデキントは、全ての数を、Ａ，Ｂの２つに分けてＡに属する数を、Ｂに属する数より小さく出来るときに、このような組分け（Ａ，Ｂ）を切断（Schnitt）と定義したわけです。

切断（A,B)において、どのような数も下組Aに属するか、上組Bに属するか、いずれか１方に属すると厳密に考えます。実数の切断は、下組と上組の境界として、１つの数が確定されることが、デデキントによって示されたわけです。

切断の３つの型

数の切断には、以下の３つの型が考えられます。

①　下組に最大値があり、同時に上組に最小値がある。

②　下組に最大値がなく、上組に最小値がない。

③　下組または上組に端があって、他の一方には端が無い。

この型のうち、実数の切断は、③に限ると言う事を言っているのです。

整数の範囲では、①の切断に限ります。有理数では、①は不可能ですが、②は可能なわけです。

このような考え方は、面倒なようにも思えますが、解析学は実数の連続性のもとに成り立っているわけですから、厳密な定義と定理が必要だったわけです。

連続に関する問題

ある区間で定義された２つの連続関数、f(x)、g(x)がその区間の全ての有理数で
f(x)＝g(x)　であれば、その区間の全ての値に対して、f(x)＝g(x)　である事を証明してください。