微分法、積分法の問題－解答編－

微分法、積分法の問題の解答（１）

問題は、下記の問題でした。問題と解説は次のリンクです。微分法・積分法

【問題１】

ａ＞0の定数とするとき、全ての正の実数ｘに関して、不等式a^x≧a・x

が成り立つとします。ａを求めてください。（京都大）

問題１の解答

a^x≧a・x･･････････①

条件より、ａ＞0、ｘ＞0ですから、①の両辺の自然対数をとります。

ｘ・logａ≧logａ+logｘ　となりますから、これを整理すると

（x-1)・loga≧logｘ　･････････②　となります。

ｘ＝１の時は、②は成り立つから、ｘ≠１の場合を考えます。

１）０＜ｘ＜１の場合は、loga≦logｘ/(x-1)　･････③

２）ｘ＞１の場合は、loga≧logｘ/(x-1)　･･････④

となります。そこで、f(x)＝logｘ/(x-1)　がどうなるかを調べます。ｘ≠１で考えます。

ｆ’(x)＝｛ｘ-１-ｘlogｘ｝/{ｘ･(x-1)^2｝となります。分母は、ｘ＞0、ｘ≠１で正ですから、ｆ’(x)の正負は、分子のg(x)＝ｘ-1-ｘlogｘで決まります。そこで、ｇ’（ｘ）＝１－（logｘ+ｘ・1/ｘ）＝－logｘ　となります。

従って、g(x)すなわちf(x)は、ｘ＞０、ｘ≠１でg(x)＜０となりますから、

ｘ＞0、ｘ≠１でf(x)も単調減少することになります。

ここで、lim(ｘ→１)logx/（x-1)＝lim(ｘ→１)｛logx－log1｝/(x-1)

h(x)＝logｘとおけば、h'(ｘ）＝1/ｘですから、

lim(ｘ→１)logx/(ｘ－１）＝ｈ’（１）＝１となります。

よって、③、④を同時に満たすａ＞０は、logａ＝１となります。

従って、ａ＝ｅ　となります。･･･････（答）

微分法、積分法の問題の解答（２）

問題は、下記の通りです。

【問題２】

an＝Σ(k=1,n）(1/√ｋ）, bn＝ Σ(k=1,n){1/√(2k+1)｝とします。

lim(ｎ→∞)an , lim(n→∞){bn/an)　をそれぞれ求めてください。（東大）

問題２の解答

ｙ＝1/√ｘを考えると,ａn＞∫(1～n+1)１/√ｘ・ｄｘ＝2（√(ｎ+1)－１→∞

となります。また、ｋ≧１の時、√(2n+2)＞√(2n+1)＞√2n　となりますから、この逆数をとれば、1/√2k＜1/√(2n+1)＜1/√(2n+2)　となります。

よって、上式のk=1からnまでの総和をとると、

1/√2Σ(k=1､n)1/√ｋ＞Σ(k=1､n)1/(2k+1)＞ｂn＝1/√2･Σ(k=1､n)1/(k+1)

従って、1/√2･ａn＞ｂn＞1/√2･（ａn－１+1/(√(n+1)）から、

1/√2＞ｂn/ａn＞1/√2･｛１－1/ａn+1/(ａn√(n+1)｝････①

となります。①でｎ→∞とすると、ａn→∞ですから、挟み撃ちの原理から

ｂn/ａn→1/√2　となります。（ｎ→∞）

 

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