関数の級数展開　－問題の解答編－

関数の展開の問題

以前、関数の級数展開の問題例として、下記の問題を提起いたしました。これの解答を書いておきますので、解法のやり方をマスターしてください。

【問題】

　ｍを自然数とし、ｘ＞0とします。

１）log(1+x)＞\(x-1/2x^2+･･･････････-(1/2m)･x^(2m)\)　を示してください。

２）log(1+x)＜\(ｘ-1/2x^2+･･･････+（1/2m+1)･x^(2m+1)\)を示してください

３）log1.1　の値を小数点以下３桁まで求めてください。

（注：log　は自然対数です。）

解答例を示します

１）ｘ＞０より、

log（1+ｘ）＝∫(0~x)１/(1+ｔ）･ｄｔ

＝∫(0~x)\({(1-(-1）^2m）/(1+t)+（-ｔ）^2m/(1+t)}\)dt

＞∫(0~x)\(｛1-ｔ+ｔ^2-ｔ^3+･･･････+(-ｔ）^(2m-+1)\)dt

＝\(ｘ-1/2・ｘ^2+1/3・ｘ^3-1/4・ｘ^4+･･････-1/2ｍ・ｘ^2m\)

２）同様にして、

log（1+ｘ）＝∫(0~x)｛\((1-（-ｔ)^2m+1/（1+t)　+（-ｔ）^2m+1/(1+t)\)}･dt

＜\(ｘ-1/2・ｘ^2+1/3・ｘ^3-････････+1/(2ｍ+1）・ｘ^(2m+1)\)

３）１)　２）の結果に、ｘ＝1/10を代入すると、

1/10-1/2(１/10）^2＜log1.1＜1/10-1/2（1/10）^2+1/3･（1/10）^3

よって、　０．０９５＜log１．１＜０．９５３３３････

従って、log1.1≒０．０９５　となります。･･････（答）

 

下記に、関連記事があります。