積分法－1変数から多変数へ－

通常の積分法

普通、高校で学ぶ積分法は、１変数の積分です。不定積分にしても定積分にしても、これは変わりません｡しかしながら、高校で学ぶ積分は、実数の範囲であり、この範囲で積分できる関数を扱っているに過ぎません。ですから、問題も積分できるように作ってあるのです。解けない訳はありません｡普通の方法では積分できない関数は、変数変換をしたり漸化式を作ったりして、解けるようにします。部分積分や置換積分を使ったりします。通常微積分法で、不定積分が出来ると言う事はf(x)が初等関数の時に、原始関数が初等関数の範囲内に存在することを言います。F(x)＝∫ f(x)dx は、F'(x)＝f(x)と同等であり、F(x)が初等関数という事なのです。

有理関数のパラメーター化の例

例えば、f(x)を有理関数としたとき,　∫f(cosｘ、sinx)dxを考えて見ましょう。これは、パラメーターとして、ｔ＝tan x/2　とパラメトライズすれば、簡単な計算から、cosｘ=(1-t＾2)/(1+t＾2）、sinx＝2t/(1+t＾2）、dx＝2dt/(1+ｔ＾2）となりますから、∫f(cosｘ、sinx)dx＝∫f((1-t＾2)/(1+t＾2)，2t/(1+t＾2)･dt/(1+ｔ＾2）とすれば、ｔの有理形関数の積分をすればよいことになります。

2項微分の積分

これは、∫ｘ＾m（ａｘ＾n＋ｂ）＾q･ｄｘ　の形のもので、Newtonが考察したものです。m,n,qは有理数です。これは、ｘ＾n＝ｔとしてパラメータ化すれば、有理関数の積分に帰着します。

多変数の積分

上記は1変数ｘの積分でしたが、2変数以上の関数の積分も考えることが出来ます。これを重積分と言います。2重積分を使うと、通常は積分できない∫ｅ＾(-x＾2)・ｄｘなども積分を求める事が出来ます。こう言う関数は、統計学の正規分布に出てくる関数です。

２重積分の応用

上の正規分布に出てくる広義積分I=　∫(0～∞）ｅ＾(-x＾2)・ｄｘ＝√π/２も２重積分を考える事で求める事が出来ます。

I(R）＝∫(0～R）ｅ＾(-x＾2)・ｄｘ　とおくと、

I=lin(R→∞）I(R)　となります。これを求めるために、Kをｘｙ平面上の第１象限全体とし、領域Q(R)を、０≦ｘ≦R、０≦ｙ≦Rを満たす正方形と考えると、R→∞とすれば、Q(R)→Kに収束します。

ここで、∬(Q(R)　exp（-ｘ＾2-ｙ＾2）dxdy＝∫exp(-ｘ＾2）ｄｘ∫exp(-ｙ＾2）ｄｙ＝I(R)＾2　となります。

ここで、(x,y)座標を(r、θ)の曲座標とすれば、０≦θ≦π/2、０≦ｒ≦R

ｄｘｄｙ＝ｒ･ｄｒ･ｄθ　となりますから、

∬(Q(R)　exp（-ｘ＾2-ｙ＾2）dxdy＝∫(０-R)∫(0～π/2）exp(-ｒ＾2）ｒｄｒ･ｄθ　＝π/2∫(０～R)exp(-ｒ＾2）･ｒ･dr＝π/４(１－exp(-R＾2）となります。従って上式でR→∞とすれば、

I＾2＝π/４　となります。I＞０ですから、I＝√π/2　が得られます。

ｄｘｄｙ＝ｒ･ｄｒ･ｄθとなるのは、変数変換における補正項です。　　（これは、正確には、Jacobianを計算することになります。)

積分法による体積計算

【問題】

ｘｙｚ空間において、

ｙ^2＋ｚ^2≦１、ｘ^2+ｚ^2≦１、ｘ^2+ｙ^2≦１　をすべてみたす点全体からなる立体の体積を求めてください。（入試問題）