リーマン予想に関する問題－未解決問題からヒントを得た問題－

リーマン予想について

リーマン予想については、以前未解決であり、素数の全貌に関わる問題であることは、既に説明いたしました。（下記のリンクを参照してください。）リーマン予想は、リーマンのζ（ｓ）関数に関するものです。再度書いておきましょう。

\(ζ（ｓ）＝１/１^s＋１/２^s＋･･････････\)　　と無限に続く級数です。ｓは複素数で考えます。

これが、素数の分布や素数の全貌を解き明かす関数なのです。リーマン予想では、ｓは複素数で考えますが、リーマン予想とは、ζ（ｓ）＝0を満たす複素零点は、その実部が１／２であろうと言う予想です。つまり、Re(s)=１／２　という事を予想しています。160年以上も前にリーマンによって予想された事実は、多くの天才の努力にもかかわらず、いまだに解決していません。

リーマン予想でｓを実数と考えた時の問題例

ｓを実数と考え、自然数と考えて見ます。つまり、ｓ＝１，２，３，４，･･･････　とします。これは、ｓが複素数であるリーマン予想の特別な例ですが、これにも面白い結果が得られています。

ζ（１）は、収束せず、発散します。

ｓが偶数の時は、\(ζ（2）＝π^2/6\)、\(ζ（４）＝π^4/90\)、などと言う目覚しい関係式が得られています。但し、ｓが奇数の時は、まだよく分かっておらず、ζ（３）が無名の数学者によって無理数であることがわかったのは、1978年の当時の無名数学者であったアペリーです。このように実数の場合でさえ、わだ分かっていないことが多くあります。

ζ（１）が発散する事の証明

証明は割合簡単です。積分を使っても出来ますし、初等的にも証明はできます。ここでは、積分法を使った証明をしておきましょう。

これは、区分求積法による不等式の評価によります。ｙ＝ｆ（ｘ）＝1/ｘ　を考えます。簡単な考察から、

1/1+1/2+1/3+･･････1/ｎ＞∫(1,n)1/x・dx　となります。

右辺は、[logx](n～1）＝logｘ　となります。従って

1/1+1/2+1/3+･･････1/ｎ＞log(n+1)　となります。この式でｎ→∞とすれば、1/1+1/2+1/3+･･････1/ｎ+･･･････　は発散する事になります。

ζ（２）＝\(π^2/6\)　の証明問題（バーゼル問題）

これは、難しい問題ですが、導入を与えれば、何とか解ける問題にもなります。実際に入試問題にも得ています。

１）　Sn＝∫(0→π/2）ｘ^2ｃｏｓ^2nｘ・dx　とおくと

Sn-1－2n/（2n-1）・Sn＝2/(2n）･(2n-1）I2n（ｎ≧1）を示してくだ　　さい。

２）N≧1とするとき

SN＝｛(2N-1)(2N-3)･･････5･3･1}/{2N(2N-2)･････4･2｝･\(（π/4）^3\)・（\(π^2/6\)－Σ(n=1,N)・\((1/ｎ^2）\)を示してください。

３）N≧1とするとき

SN≦1/（2N+2)・(2N-1)(2N-3)･･････5･3･1}/{2N(2N-2)･････4･2｝･\((π/2）^3\)　を示してください。

４）次の式を示してください。

Σ（n＝1、∞）\(1/ｎ^2\)＝\(π^2/6\)

少し難しいかもしれませんが、頑張ってみましょう。