アイのある数学　－あったかいんだから－

アイのある数学を知っていますか

数学にはアイがあります。パイもあります。とってもあったかいんだから～。アイは、i ですねん。i = √－１ですね。そうして、直交座標軸において、x軸を実数軸、ｙ軸を虚数軸とすれば、複素平面が出来上がるわけです。ａ，ｂを実数とするとき、ｚ＝ａ+ｂi　を複素数と定義し、（a,b)を複素平面上の点と考えるのです。ガウスが最初に考えた平面です。実数のセット（a,b)　と考えるわけですから、P(a,b)　は原点を始点とし、Pを終点とするベクトルと考えることも出来ます。

複素平面（ガウス平面）について

このように、複素平面は、複素数Z=ａ+ｂｉ（ａ，ｂは、実数）として複素平面上の点としてあらわすことが出来ます。共役複素数として、ａ－ｂｉが考えられます。\(ｌｚｌ^2\)＝\(a^2+ｂ^2\)　となります。座標で極座標がありますが、複素数も極形式が同様に定義できます。複素平面上でP(z)であらわされる点Pは、OP＝ｒ、x軸（実軸　ｘ＞0）となす半時計方向の角をθとすると、ｚ＝ｒ（cosθ+ｉsinθ）という極形式であらわすことが出来ます。ｚ1＝ｒ1（cosθ1+ｉsinθ1）、ｚ2＝ｒ2（cosθ2+ｉsinθ2）とすると、ｚ1・ｚ2＝ｒ1・ｒ2（cos（θ1+θ2）+ｉsin（θ1+θ2））となります。また、ド・モアブルの定理も重要な公式です。ｚ＝ｒ（cosθ+ｉsinθ）の時に、\(ｚ^{n}\)＝\(ｒ^{n}\)（cosｎθ+ｉsinｎθ）とあらわされます。ド・モアブルもよく使いますから、しっかり理解しておきましょう。

アイのある公式

複素数には、アイがありますが、パイもあります。さらにeもあります。つまり、\(ｅ^{πｉ}\)+１＝０　となります。これは、オイラーの式とも言われておりますが、美しい数式としても有名です。この公式はあったかいんです。

下にあったかいもののリンクがあります。

複素平面の問題

ｚを絶対値が１の複素数とします。このとき下記の問いに答えてください。
ｎを自然数とします。\(ｚ^{n}\)+１の絶対値が１となるようなｚを全て掛け合わせて得られる複素数を求めてください。

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