確率論　－ギャンブルで勝つために考えられた理論－

確率論の考えられた背景

確率論を考えたのは、パスカルだと言われています。円錐曲線や圧力のパスカルの原理やパスカルの３角形など、様々なところで活躍しています。

ヨーロッパの貴族のあいだでは、ギャンブルが流行っていて、賭けをするひとは何とか必勝法はないものだろうかと考えたようです。

ギャンブルで勝ちたいと思うのは、今も同じだと思いますが、当時のヨーロッパの貴族が、パスカルにギャンブルに勝つ方法を考えて欲しいと頼んだのが、確率論の始まりだと言われています。

確率論の基本的な考え方

確率論では、ある事象が起こる場合、起こる場合と起こらない場合は、均等に起こるという考え方をします。ある勝負をする場合、当然強いものと弱いものが存在するのは当然ですが、確率論では同等であると考えます。例えばコインを振って、表がでるか裏が出るかはともに同じで、１／２です。そうでなければ、この勝負はイカサマであると言う事になります。

サイコロの例

大小２つのサイコロがあるとします。同時にこの二つを投げて、サイコロの目の和が、５になる確率はどうなるのでしょうか。大小２つのサイコロを投げた時の場合の数は、6ｘ6＝36通りです。大小のさいころの目が5になるのは、（大、小）＝（1,4）、(2,3)、（3,2)、（4,1)の4通りです。従ってこの確率は、4/36＝1/9　となります。

ずっと負け続けた例

現在、東京６大学で東大野球部は、２０１０年秋に勝って以来、８６連敗しています。最後の勝利は、現北海道日ハムの斉藤佑樹に、４－２で勝って以来負け続けています。そもそもの実力差があるから仕方ないとは言え、これだけ負け続けるのも珍しいと思います。

この確率は、\(1/２^(86)\)になります。\(２^(86)＝（２^(10)）^8・２^6＝１０２４^8・６４≒６ｘ１０^(25)\)　となりますから、極めて小さい確率になります。元ジャイアンツの桑田真澄投手が臨時コーチをやったようですが、実力差はどうしようもなかったようです。

立教には勝てるのではないかと思いましたが、最近立教は優勝直前までいっています。今度はいつ勝つのでしょうか。

確率に関する問題

確率に関する問題例を挙げておきましょう。場合の数、確率の分野として結構出題されていますので、基礎を固め、問題の解き方をマスターしてください。

【確率の問題】

１つのサイコロを続けて投げて、それによって\(ａ_n(n=1,2,3････）\)を以下のように定めるとします。出た目の数を順に、\(ｃ_1、ｃ_2、････\)とするとき、\(1≦ｋ≦ｎ-1　\)を満たす全ての整数\(ｋ\)に対し、\(ｃ_k≦ｃ_n\) ならば\(ａ_n=ｃn\)　それ以外は\(ａ_n＝０\)とします。ただし、\(ａ_1＝ｃ_1\) とします。

（１）\(ａ_n\)期待値を、\(E(n)\)とおくとき、\(ｎ→∞ の時のE(n)\)の極限値を求めてください。

（２）\(ａ_1、ａ_2、･･････、ａ_n\)のうち、\(２\)に等しいものの個数の期待値を\(N(n)\)とするとき、\(ｎ→∞の時のＮ(n) \)の極限値を求めてください。

 

あなたは、次のギャンブルに参加費がいくらだったらやりますか。

ここに、1枚のコインがあるとします。コインを投げて表がでたら、２円もらえるとします。裏がでたら、その時点で勝負は終了し、あなたは、それまでに稼いでいたものも０となります。続けて表が出たら、持っているお金の２倍がもらえます。

例えば、３回続けて表を出すと、2ｘ2ｘ2＝8円もらえる訳です。さて、このようなギャンブルがラスベガスやマカオでやっていたとすると、参加費いくらなら、勝負をしますか。

(注）東大野球部は、２０１５年５月２３日に５年ぶりに法政大に勝利し連敗記録は、９４でとまりました。前回は、５年前の早大の斉藤佑樹に勝って以来でした。