３角関数・3角比について　－ある角度の３角比は、どんな数なのでしょうか－

３角比について

３角比は、直角三角形の３辺に関する比として定義されます。３角形では、内角の和は１８０°ですから、直角三角形の直角でない角度は鋭角、つまり９０°より小さい物となります。３角関数は、３角比を一般化したもので、半径１の単位円上の点の、ｘ座標、ｙ座標の比で表されます。例えば、角度をx軸の正の部分からの反時計回りの角度θで表すと、\(sinθ＝ｘ、cosθ＝ｙ、tanθ＝y/x\)　と定義します。

角度の定義について

角度は、円の一周を３６０°とする度数法が理解しやすいですが､高校の数学以上では、円周に対する円弧の長さの比で表す弧度法が一般的に使われます。\(３６０°＝２π rad\)　となりますから、\(１°＝π/180 rad\)　となります。面倒ですが、三角関数の拡張や、微積分を考えたりする時にはこの方が都合がいいのです。一般社会では、度数法が考えやすいですね。

３角比はどんな数なのか

ここまでで、３角比の定義は終わりましたので、具体的な問題で３角比（３角関数）は、どのような数なのかを考えて見ましょう。数には、自然数、整数、有理数、無理数、複素数がありますが、これは数の計算をするために考えられたものです。複素数を考えることで、全ての2次方程式が解けるようになりました。有理数は、分数で表される数で、無理数は分数では表されません。\sqrt{2}\)やπ　は、循環しない無限小数になりますが、無理数の例です。

そこで、問題です

角度を度数法で表した時に、「tan１°は、有理数か無理数か？」これは最も短い入試問題と言われています。さらに「ｎを、\(30＜ｎ＜90\)　の自然数とするときに、\(sin（n°)\) は無理数ですか、有理数ですか？」ちょっと考えてみると面白い問題だと思います。

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