2次関数の問題演習特講－解答編－

2次関数特講

数Ⅰの2次関数の解法を固めると言う意味で、2次関数問題特講を出題いたしました。
この解答を書いておきます。十分に演習をしてください。標準的な問題だと思います。
2次関数の問題特講　に講義と問題があります。

2次関数の特講の解答

２次関数特講の解答

【問題１】
関数f(x)＝lａ(x-a)l　の区間　0≦ｘ≦2　における最大値をg(a)とします。
区間－１≦ａ≦２におけるg(a)の最大値と最小値を求めてください。

【解答1】
(1)a<1　のとき、g(a)＝f(2)＝lａ(2-a)lから、
ａ≦0のとき、\(g(a)＝(a-1)^2－1\)
0<ａ<1のとき、\(g(a)＝－(a-1)^2＋１\)
(2)ａ≧1のとき\(g(a)＝g(0)＝ａ^2\)
従って、(1),(2)よりy=g(a)は、a=2のとき最大値4、a＝0のとき、最小値0となります。

【問題２】
0≦ｘ≦1で、２次関数\(y=ｘ^2－ax+4\)の最小値が０になるときの定数ａの値を求めてください。

【解答２】
\(f(x)＝ｘ^2-ax+4＝(ｘ-a/2)^2-ａ^2/4+４\)　となります。
ⅰ)ａ≦0のとき、x=0のとき最小値4となり、題意にあいません。
ⅱ)0<a≦2のとき、x=a/2のとき、最小値\(－ａ^2/4+4\)となり、\(－ａ^2/4+4\)＝0から、ａ＝±4となり、0<a≦4にあいません。
ⅲ)ａ>2のとき　ｘ＝1のとき最小値5-aをとるから、5-a＝0よってa＝5これは、a＞2に適します。
従って、求めるaは、a＝5となります。

【問題３】
2次方程式　\(ｘ^2+2ax+ｂ＝0\)の２つの実数解を、α、βが、\(α^2+β^2≦4\)を満たすとき、(a,b)の存在する範囲を示してください。

【解答３】
\(ｘ^2+2ax+ｂ＝0\)が２つの実数解をもつから、判別式をDとすれば、
\(D/4=ａ^2-ｂ≧0\)･････①
解と係数の関係から、\(α+β＝-2a、αβ＝ｂ\)となりますから、条件式\(α^2+β^2＝(α+β)^2－２αβ＝4ａ^2－2ｂ≦4\)よって、求める(a,b)の範囲は、\(２ａ^2－２≦ｂ≦ａ^2\)　の範囲です。

【問題４】
２点O(0,0)、A(2,-2)を通る2次関数　\(y=aｘ^2+ｂｘ+ｃ\)　(a>0)について、 2次関数の頂点をＰとします。ａが変化するとき、ＯＰを対角線とし、座標軸と平行な辺をもつ長方形の周囲の長さをｓとするとき、ｓの最小値を求めてください。

【解答４】
\(y=aｘ^2+ｂｘ+ｃ\)　(a>0)が、(0,0)、(2,-2)を通るから、代入して、
ｂ＝－2a－1、ｃ＝0となります。よって、\(f(x)=a(ｘ－(1+1/2a)）^2－ａ－１－1/４ａ\)となります。ここで、長方形の周の長さをｓとすれば、
\(ｓ＝２(1+1/2a)+2(ａ+1+1/２ａ)＝2ａ+3/2a+4≧2\sqrt{2ａ･3/２ａ}+4＝2\sqrt{3}+4\) 等号は、2a＝３/2aのとき成り立ち、ａ＞0から、\(a＝\sqrt{3}/2\) のとき成り立ちます。従って最小値は、\(2\sqrt{3}+4\)となります。

【問題５】
\(f(x)＝ｘ^2+２ｘ+ａ\)について、f(x)=0　が相異なる２つの実数解をもち、f(f(x))＝0が重解βを持つとします。βとａの値を求めてください。
（東工大）

【解答５】
\(f(x)＝ｘ^2+２ｘ+ａ＝0\)が相異なる2実解をもつから、D/4＝1-ａ>0よって、ａ<1･･････①
\(F(x)＝f(f(x))\)が重解βをもつ条件は、F(β)＝F’(β)＝0が必要十分です。
よって、\(F(β)＝{f(β)}^2+2f(β)+a＝0\)･･････②
\(F’(β)＝２f(β)ｆ'(β)+2ｆ’(β)＝2ｆ'(β)(f(β)+1)＝0\)････③
ここで、f(β）+1＝0とすると、ａ＝1となり、①に反します。よって、\(ｆ’(β)＝2β+2＝0\)から、β＝－1となります。このとき、f(-1)＝ａ－1ですから、②から、\(a^2+ａ-1＝0\)から、\(ａ＝(-1±\sqrt{5})/2\)となります。