2次関数について－解答編－

２次関数の問題

２次関数は、数Ⅰで学ぶ基本的な単元です。入試に出題される場合は、結構難しめの問題が出題される傾向がありますので、基本や標準問題は完全にして、ここにあげたような難し目の問題にも挑戦してみてください。以下の2次関数についての解答です。2次関数について

2次関数に関する問題の解答

【問題１】
２次関数 \(y=x^2\) の上を動く2点P,Qがあり、この２次関数と線分PQが囲む部分の面積が常に１であるとき、PQの中点Mの軌跡の方程式を求めてください。
(京都大）

【解答１】
\(y=f(x)=x^2\) ･････①の２つの動点P,Qのｘ座標を、α、β（α＜β）とします。直線PQの方程式は、y=(α+β)ｘ－αβ･･････②　となります。従って条件から、題意の面積Sとすると、S=\(-\displaystyle \int_{ α }^{β } (ｘ-α)(x-β)dx\)=1/6･\((β-α)^3\)＝１ですから、β-α＝\(\sqrt[ 3 ]{ 6 }\) ･･･････③　となります。ここで、PQの中点Mの座標は、\(M((α+β)/2,(α^2+β^2)/2)\) 　よって、M(x,y)とすれば、\(x=(α+β)/2,　y=(α^2+β^2)/2\) となりますから、α+β＝2x、αβ＝\(x^2－\sqrt[ 3 ]{ 6 }/4\) です。これから、α、βを消せば、M(x,y)の軌跡の方程式は、y＝\(1/2･(2x)^2－x^2-(\sqrt[ 3 ]{ 6 }/4)\)=\(x^2+\sqrt[ 3 ]{ 6 }/4\)　となります。

【問題２】
\(y=a(1-x^2)\)とx軸で囲まれる範囲にあり、原点でx軸に接する円の半径の最大値を求めてください。（一橋大）

【解答２】
\(y=a(1-x^2)\)････････①　とし、求める円を\(x^2+(y-r)^2＝r^2\)･････②とします。つまり、求める円の半径をｒにしています。①、②から、xを消去すると、\(ay^2－(2ar+1)y+a=0\) ･････････③　となります。③より、\(y=((2ar+1)±\sqrt{D})/2a\) ･･･････④　ただし　D=\((2a+1)^2-4a^2\)　です。
ⅰ）③が重解を持つとき、0<y≦2r　で、2ar+1＝2a　ですから、r=１－1/2aとなります。このとき③より、y=1となります。これを、0<y≦2r　に代入すれば、1≦2-1/aから、a≧2　となります。
ⅱ）0<a<1　のときは、2r=aとなりますから、r=a/2　となります。
従って、a≧1のとき　r=1-1/2a、0<a<1のとき　r=a/2　が答えです。

【問題3】
関数y=f(x)=\(x^2+ax+b\) (a,b は実数の定数とします。）と正の定数ｋに対し、F=lf(-k)l+lf(0)l+lf(k)l　とおきます。a,bを変化させたときのFの最大値を求めてください。

【解答３】
f(x)の頂点のｘ座標をｐとすると、ｐ≧0のときは、P(-ｋ、f(-k)）、Q(0、f(0)）とすると、P＞Q（ｘ座標も、ｙ座標もともに）ですから、\(F≧ｌf(-k)ｌ+ｌf(0)ｌ≧　ｌf(-k)-f(0)ｌ≧ｋ^2\)、等号成立は、ｐ＝0です。またこのとき、グラフを考えると、\(F=0+ｌ-ｋ^2ｌ+0＝ｋ^2\) となります。ｐ≦0のときも同様のことがいえますから、Fの最小値は、\(ｋ^2\)　となります。

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