2次曲線を極めよう－解答編－

2次曲線の問題解法

2次曲線はそれ程多くの種類はありません。まずは、標準形の理解と図形的な定義をきちんと理解してください。2次曲線は、離心率ｅで統一的にあらわすことができます。
極座標表示での2次曲線の定義もあわせてきちんと理解するようにしましょう。図形の問題では、極座標で解くと計算しやすい場合が好くあります。講義と問題は、次のリンクにあります。2次曲線を極めよう

2次曲線の問題の解答

【問題１】

楕円\(ｘ^2/ａ^2＋ｙ^2/ｂ^2＝１\)　\((ａ＞ｂ＞0)\)に、4辺が接する長方形の面積の最大値と、最小値を求めてください。（頻出問題）

【解答１】
\(ｘ^2/ａ^2＋ｙ^2/ｂ^2＝１\)のC上の点P(t,s)における接線ｌの方程式は、
\(ｓｘ/ａ^2+ｔｙ/ｂ^2＝1\)･･････①　です。

ｌに原点から、垂線をおろし、その交点をHとし、\(OH＝ｄ、∠HOｘ＝θ\)　とすれば、\(H(ｄcosθ、ｄsinθ）\)となります。
よって、ｌの方程式は、\(cosθ/ｄ･ｘ＋sinθ/ｄ･ｙ＝1\)･･････②

①、②は一致しますから、\(ｓ＝ａ^2cosθ/ｄ、ｔ＝ｂ^2sinθ/ｄ\)
ここで、P(s,t)は、C上の点ですから、
\(ａ^2cos^2θ＋ｂ^2sin^2θ＝ｄ^2\)･･････②

また、ｌに直交する直線を考えれば、\(θ→θ+π/2\)で、原点からの距離をｄ’とすると
同様にして、\(ａ^2cos^2θ＋ｂ^2sin^2θ＝ｄ’^2\)･･････③

②、③から、\(ｄ^2＋ｄ’^2＝ａ^2+ｂ^2\)
よって、長方形の対角線の長さは,\(\sqrt{ａ^2+ｂ^2}\)　となります。
この長方形が最大になるのは、正方形のときで、ｌで\(θ＝±π/4、±3π/4\)のときに
この4本で正方形が形成できます。
よって、求める面積の最大値は、\(1/2･(2･\sqrt{ａ^2+ｂ^2})^2\)＝\(2･(ａ^2+ｂ^2)\)　となります。

【問題２】

楕円\(ｘ^2/3^2＋ｙ^2＝1\)上の点を、\(Ｐ(3cosα、sinα）（0≦α≦π/2）\)とします。原点Ｏと点Ｐを結ぶ線分とｘ軸との成す角をθとするとき、

(1)OPの長さが、\(3/\sqrt{5}\) 以上となるθの範囲を求めてください。

(2)\(l α－θ l \)　の最大値を求めてください。

【解答２】
(1) \(OP^2＝(3cosα)^2＋(sinα)^2＝8cos^2α＋１\)
\(α＝π/2\)なら、不適

\(0≦α＜π/2\)で、\( 8cos^2α＋１≧9/5\)  から \(cos^2≧1/10\)
よって、\(tan^2α≦9\)　ですから、\(0≦tanα≦３\)　θ≠π/2より、
\( tanθ＝1/3･tanα\)　よって、\(0≦tanθ＜π/2から、0≦θ≦π/4\)
(2) \(θ＝αまたは0＜θ＜α＜π/2\)より、
\(tan(α－θ)＝(tanα－tanθ)/(1+tanαtanθ)＝2/(tanα+1/tanα)\)

\(tanα＞0\)より相加・相乗平均の関係より、
\(tan(α－θ)≦1/\sqrt{3}\), 等号は\(tanα＝\sqrt{3}つまり、α＝π/3\)
従って、\(l α－θ l \)の最大値は、\(π/6\)です。

【問題３】

\(AB=AC、BC=2\)　の直角2等辺３角形\(ABC\)の各辺に接し、１つの軸が\(BC\)に平行な楕円の面積の最大値を求めてください。（東大）

【解答３】

３角形ABCは\(AB=AC、BC＝2\)の直角２等辺３角形ですから、ｏ-ｘｙ座標上に
A(0,1),B(1,0),C（－1,0)とおくことができます。
このとき、\(AB,BC,CA\)に接し、1つの軸がBCに平行な楕円は、

\(ｘ^2/ａ^2+(ｙ－ｂ）^2/ｂ^2＝１･････①\)
\(（０＜ａ＜1、0＜ｂ＜1/2)\)
とおくことができます。

直線ＡＢは、\(ｘ+ｙ＝1\)･･････②　です。

①、②は接するので、②を①に代入して、整理すると、
\((ａ^2+ｂ^2)ｙ^2－2ｂ(ａ^2+ａ)ｙ+ｂ^2＝0\)　となりますから、
この判別式をＤとすると、

\(Ｄ/4＝ａ^2ｂ^2(ａ^2＋2ｂ－１)＝0\)　よって、\(ａ^2ｂ^2≠0\)ですから、
\(ａ^2＋2ｂ－1＝０\)
従って\(ｂ＝(1－ａ^2)/2\)････････③

よって、楕円の面積をＳとすると、
\(Ｓ＝πａb＝π/2･(－ａ^3＋ａ)　（0＜ａ＜1）\)　となります。

ここで、\(f(a)＝－ａ^3＋ａ\)とおけば、\(ｆ’(a)＝(－3ａ^2＋1)\)　です。
\(ｆ’(a)＝0から、ａ＝1/\sqrt{3}\) この値で、極大値をとりますから、
面積Ｓの最大値は,\(π/2･f(\sqrt{3})＝\sqrt{3}/9･π\)　となります。

【問題４】

Cを双曲線\(２ｘ^2－2ｙ^2＝１\)とします。\(ｌ、ｍ\)を点（1,0）を通り、ｘ軸とそれぞれ、θ、θ＋π/4の角をなす２直線とします。ここで、θは、π/4の整数倍ではないものと考えます。

(1)直線ｌは、Cと相異なる２点P,Qで交わることを示してください。
(2)直線ｍとCの交点を、R,Sとするとき、
\(1/PQ^2＋1/RS^2\)は、θによらない一定な値になることを示してください。
（筑波大）

【解答４】

(1)　ｌ　の方程式は、\(ｙ＝tanθ(ｘ－１)\)とかけます。\(tanθ＝ｔ\)とおき、Cに代入して整理すると、
\(２(1－ｔ^2)ｘ^2＋4ｔ^2ｘ－(1＋2ｔ^2)＝０･･･････①\)となります。
\( (ｔ≠0、±1)\)
①の判別式をDとすると、\(D/4＝2（1＋ｔ^2）＞0\)となりますから、直線　l　は、Cと相異なる２点P,Qで交わります。

(2)①の解を、\(α、β\)とすると、\(ｔ＝tanθ\)を考慮して、
\(α＋β＝2ｔ^2/(１－ｔ^2)、αβ＝－(1+２ｔ^2)/２(１－ｔ^2)\)
よって、\(PQ^2＝(1+ｔ^2)(α－β)^2＝2(1+ｔ^2)/(1－ｔ^2)^2
＝2{(1+tan^2θ)/(１－tan^2θ)}^2
＝2/(cos^22θ)\)
また、\(RS^2＝2/(cos^22(θ＋π/4）＝2/sin^22θ\)　となりますから、

\(1/PQ^2＋1/RS^2＝1/2＝一定\)　となります。