2次曲線を極めよう－解答編－

2次曲線の問題解法

2次曲線はそれ程多くの種類はありません。まずは、標準形の理解と図形的な定義をきちんと理解してください。2次曲線は、離心率ｅで統一的にあらわすことができます。
極座標表示での2次曲線の定義もあわせてきちんと理解するようにしましょう。図形の問題では、極座標で解くと計算しやすい場合が好くあります。講義と問題は、次のリンクにあります。2次曲線を極めよう

2次曲線の問題の解答

【問題１】

楕円$ｘ^2/ａ^2＋ｙ^2/ｂ^2＝１$　$(ａ＞ｂ＞0)$に、4辺が接する長方形の面積の最大値と、最小値を求めてください。（頻出問題）

【解答１】
$ｘ^2/ａ^2＋ｙ^2/ｂ^2＝１$のC上の点P(t,s)における接線ｌの方程式は、
$ｓｘ/ａ^2+ｔｙ/ｂ^2＝1$･･････①　です。

ｌに原点から、垂線をおろし、その交点をHとし、$OH＝ｄ、∠HOｘ＝θ$　とすれば、$H(ｄcosθ、ｄsinθ）$となります。
よって、ｌの方程式は、$cosθ/ｄ･ｘ＋sinθ/ｄ･ｙ＝1$･･････②

①、②は一致しますから、$ｓ＝ａ^2cosθ/ｄ、ｔ＝ｂ^2sinθ/ｄ$
ここで、P(s,t)は、C上の点ですから、
$ａ^2cos^2θ＋ｂ^2sin^2θ＝ｄ^2$･･････②

また、ｌに直交する直線を考えれば、$θ→θ+π/2$で、原点からの距離をｄ’とすると
同様にして、$ａ^2cos^2θ＋ｂ^2sin^2θ＝ｄ’^2$･･････③

②、③から、$ｄ^2＋ｄ’^2＝ａ^2+ｂ^2$
よって、長方形の対角線の長さは,$\sqrt{ａ^2+ｂ^2}$　となります。
この長方形が最大になるのは、正方形のときで、ｌで$θ＝±π/4、±3π/4$のときに
この4本で正方形が形成できます。
よって、求める面積の最大値は、$1/2･(2･\sqrt{ａ^2+ｂ^2})^2$＝$2･(ａ^2+ｂ^2)$　となります。

【問題２】

楕円$ｘ^2/3^2＋ｙ^2＝1$上の点を、$Ｐ(3cosα、sinα）（0≦α≦π/2）$とします。原点Ｏと点Ｐを結ぶ線分とｘ軸との成す角をθとするとき、

(1)OPの長さが、$3/\sqrt{5}$ 以上となるθの範囲を求めてください。

(2)$l α－θ l$　の最大値を求めてください。

【解答２】
(1) $OP^2＝(3cosα)^2＋(sinα)^2＝8cos^2α＋１$
$α＝π/2$なら、不適

$0≦α＜π/2$で、$8cos^2α＋１≧9/5$  から $cos^2≧1/10$
よって、$tan^2α≦9$　ですから、$0≦tanα≦３$　θ≠π/2より、
$tanθ＝1/3･tanα$　よって、$0≦tanθ＜π/2から、0≦θ≦π/4$
(2) $θ＝αまたは0＜θ＜α＜π/2$より、
$tan(α－θ)＝(tanα－tanθ)/(1+tanαtanθ)＝2/(tanα+1/tanα)$

$tanα＞0$より相加・相乗平均の関係より、
$tan(α－θ)≦1/\sqrt{3}$, 等号は$tanα＝\sqrt{3}つまり、α＝π/3$
従って、$l α－θ l$の最大値は、$π/6$です。

【問題３】

$AB=AC、BC=2$　の直角2等辺３角形$ABC$の各辺に接し、１つの軸が$BC$に平行な楕円の面積の最大値を求めてください。（東大）

【解答３】

３角形ABCは$AB=AC、BC＝2$の直角２等辺３角形ですから、ｏ-ｘｙ座標上に
A(0,1),B(1,0),C（－1,0)とおくことができます。
このとき、$AB,BC,CA$に接し、1つの軸がBCに平行な楕円は、

$ｘ^2/ａ^2+(ｙ－ｂ）^2/ｂ^2＝１･････①$
$（０＜ａ＜1、0＜ｂ＜1/2)$
とおくことができます。

直線ＡＢは、$ｘ+ｙ＝1$･･････②　です。

①、②は接するので、②を①に代入して、整理すると、
$(ａ^2+ｂ^2)ｙ^2－2ｂ(ａ^2+ａ)ｙ+ｂ^2＝0$　となりますから、
この判別式をＤとすると、

$Ｄ/4＝ａ^2ｂ^2(ａ^2＋2ｂ－１)＝0$　よって、$ａ^2ｂ^2≠0$ですから、
$ａ^2＋2ｂ－1＝０$
従って$ｂ＝(1－ａ^2)/2$････････③

よって、楕円の面積をＳとすると、
$Ｓ＝πａb＝π/2･(－ａ^3＋ａ)　（0＜ａ＜1）$　となります。

ここで、$f(a)＝－ａ^3＋ａ$とおけば、$ｆ’(a)＝(－3ａ^2＋1)$　です。
$ｆ’(a)＝0から、ａ＝1/\sqrt{3}$ この値で、極大値をとりますから、
面積Ｓの最大値は,$π/2･f(\sqrt{3})＝\sqrt{3}/9･π$　となります。

【問題４】

Cを双曲線$２ｘ^2－2ｙ^2＝１$とします。$ｌ、ｍ$を点（1,0）を通り、ｘ軸とそれぞれ、θ、θ＋π/4の角をなす２直線とします。ここで、θは、π/4の整数倍ではないものと考えます。

(1)直線ｌは、Cと相異なる２点P,Qで交わることを示してください。
(2)直線ｍとCの交点を、R,Sとするとき、
$1/PQ^2＋1/RS^2$は、θによらない一定な値になることを示してください。
（筑波大）

【解答４】

(1)　ｌ　の方程式は、$ｙ＝tanθ(ｘ－１)$とかけます。$tanθ＝ｔ$とおき、Cに代入して整理すると、
$２(1－ｔ^2)ｘ^2＋4ｔ^2ｘ－(1＋2ｔ^2)＝０･･･････①$となります。
$(ｔ≠0、±1)$
①の判別式をDとすると、$D/4＝2（1＋ｔ^2）＞0$となりますから、直線　l　は、Cと相異なる２点P,Qで交わります。

(2)①の解を、$α、β$とすると、$ｔ＝tanθ$を考慮して、
$α＋β＝2ｔ^2/(１－ｔ^2)、αβ＝－(1+２ｔ^2)/２(１－ｔ^2)$
よって、$PQ^2＝(1+ｔ^2)(α－β)^2＝2(1+ｔ^2)/(1－ｔ^2)^2 ＝2{(1+tan^2θ)/(１－tan^2θ)}^2 ＝2/(cos^22θ)$
また、$RS^2＝2/(cos^22(θ＋π/4）＝2/sin^22θ$　となりますから、

$1/PQ^2＋1/RS^2＝1/2＝一定$　となります。