ｅ^x,logex などに関する問題－ｅがからんだ問題－

オイラー定数ｅの意味

前回の講義で、オイラー定数ｅのもつ意味を説明いたしました。ｅは無理数であり、かつ代数方程式の解にはならない超越数であることも証明されています。
ここでは、オイラー定数がからんだ、\(ｅ^x、logeｘ\)に関する問題や微積分に関する問題（数Ⅲ）をやってみましょう。リンクに解答が有ります。ｅ^x、logｘに関する問題－解答編－

数Ⅲの問題（微積分）

【問題１】

\(ａ0＞0、ａk≧0（k=1,2,3,･･･････,n)、\displaystyle \sum_{ k= 0 }^{ n } a_k＝1\)　のとき、
\(ｘ＝\displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n } a_k･ｘ^k\)が、0＜ｘ＜1に解を
もつための必要十分条件は、\(\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n } ｋ･a_k＞0\)
でることを証明してください。（東工大）

【問題２】

\(f(x)=－ｘ･logｘ\)　とするとき、
条件\(ｘ1+x2＝1、ｘ1＞0、ｘ2＞0\)のもとで、\(f(x1)+f(x2)\)が最大になるときの\(x1,x2\)の値を求めてください。（名工大改）

【問題３】

\(1/(1+ｘ^2)、1/(2e^{lxl}-1）、log(1+1/ｘ^2)\)の大小関係を調べてください。\(log\)　は自然対数です。（東北大）

【問題４】

\(0＜ｘ＜ｙ\)のとき、\(ｘ^2･e^{y/x}、ｙ^2･ｅ^{x/y}\)　の大小関係を調べてください。（東工大）

【問題５】

次の式を証明してください。

\(log{(1+x)/(1-x)}=2･(ｘ+ｘ^3/3+ｘ^5/5+･･････+ｘ^{2n-1}/(2n-1)+･･･)\)

また、\(log２\)を小数点第5位まで求めてください。