ｅ^x、logｘなどに関する問題－解答編－

ｅ^x、logｘに関する問題

ｅの持つ意味をかなり詳しく説明し、大学入試の問題を提供いたしました。この問題の解答を示します。解説、問題は次にあります。ｅ^x,logｘに関する問題

問題の解答

【問題１】

\(ａ0＞0、ａk≧0（k=1,2,3,･･･････,n)\)、\(\displaystyle \sum_{ k= 0 }^{ n } a_k＝1\)　のとき、
\(ｘ＝\displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n } a_k･ｘ^k\)が、\(0＜ｘ＜1\)に解を
もつための必要十分条件は、\(\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n } ｋ･a_k＞0\)
でることを証明してください。（東工大）

【解答１】

\(f(x)＝\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n } a_k･ｘ^k－ｘ\)　とおきます。
\(f(x)－ｘ＝0\)を満たす、\(0＜ｘ＜1\)の解がただ１つ存在するとし、これをαとします。

\(f(α)＝0、f(1)＝\displaystyle \sum_{k = 0}^{ n } a_k－１＝０\)となります。よって、f(x)は微分可能ですから、ロールの定理により、\(α＜β＜1,ｆ’(β)＝0\)
を満たすβが存在します。

また、このとき\(f(0)＝ａ0＞0、f(α)＝f(1)＝0\)だから、\(f(x)\)は1次関数ではなく、
\(ａ2、ａ3、････････、ａn\)のうち少なくとも1つは正であり、
\(f’’(x)＝\displaystyle \sum_{k = 2}^{ n } a_k･ｘ^{k-2}\)は、\(ｘ＞0\)で正になります。

従って、\(ｆ’(x)\)は単調増加関数となり、\(ｆ’(1)＞ｆ’(β）＝0\)　ですから、\(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k･a_k＞1\)　となります。

逆に、\(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k･a_k＞1\)　であれば、
\(ａ1＝ａ2＝･････････＝ａn＝０\)ではありえませんから、\(ｘ＞0\)において
\(ｆ’’(x)＞0\)となります。
よって、\(ｆ’(x)\)は単調増加で、\(ｆ’(0)＝ａ1－１＜0、ｆ’(1)＝\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k･a_k－1＞０\)　となりますから、
\(ｆ’(β)＝0、0＜β＜1\)を満たすβがただ１つ存在します。

\(f(β)＜0、f(x)は0＜ｘ＜β\)で単調減少となります。よって、\(f(α)＝０、0＜α＜β\)となるαがただ１つ存在することとなり、それは、0＜ｘ＜1を満たすただ１つの解となります。

従って題意は成立します。（Q.E.D.)

【問題２】

\(f(x)=－ｘ･logｘ\)　とするとき、
条件\(ｘ1+x2＝1、ｘ1＞0、ｘ2＞0\)のもとで、\(f(x1)+f(x2)\)が最大になるときの\(x1,x2\)の値を求めてください。（名工大改）

【解答２】

\(ｆ’(x)＝－(ｘlogｘ+１）、ｆ’’(x)＝－1/ｘ＜0　（x>0)\)となりますから、
\(f(x)\)は下に凸の関数となりますから、

\(f((ｘ1+ｘ2)/2）)≧(f(x1)+f(x2))/2\)　となり、等号は、ｘ1＝ｘ2のときです。
従って、\(ｘ1+x2＝1\)ですから、\(ｘ1＝ｘ2＝１/2\)のときに最大となり、
\(f(x1)+f(x2)＝log２\)　となります。

【問題３】

\(1/(1+ｘ^2)、1/(2e^{lxl}-1）、log(1+1/ｘ^2)\)の大小関係を調べてください。\(log\)　は自然対数です。（東北大）

【解答３】

３つの関数は、ともに偶関数で、その値は正です。

\(ｘ≧０\)において、\(f(x)＝(1+ｘ^2)－(2ｅ^x－１)\)　とおけば、
\(ｆ’(x)＝2(ｘ－ｅ^x)、ｆ’’(x)＝2(1－ｅ^x)\)　です。また、\(ｆ’(0)＝－2、ｆ’’(x)＜0（ｘ＞0）\)ですから、
\(ｘ＞0において、f’(x)＜0\)　となります。従って、\(ｘ＞0\)において、\(f(x)\)は単調減少で、\(f(0)＝0\)ですから、\(f(x)＜0\)となります。
すなわち、\(1+ｘ^2＜2ｅ^x－１\)から、
\(1/(1+ｘ^2)＞1/(2e^{lxl}－1）････････①　が成り立ちます。

次に、\(ｘ＞0でg(x)＝log(1+1/ｘ^2)－1/(1+ｘ^2)\)とおくと、
\(ｇ’(x)＝－2/{ｘ(1+ｘ^2)^2}＜0\)　ですから、ｇ’(x)は単調減少で、
\(\displaystyle \lim_{ x \to +0 }ｇ(x)＝+∞、\displaystyle \lim_{ nx\to \infty }ｇ(x)＝log1－0＝0\)　です。よって、\(g(x)＞\)0から、
\(log(1+1/ｘ^2)＞1/(1+ｘ^2)\)　･･･････②

①、②より、\(log(1+1/ｘ^2)＞1/(1+ｘ^2)＞1/(2e^{lxl}-1)\)　です。

【問題４】

\(0＜ｘ＜ｙ\)のとき、\(ｘ^2･e^{y/x}、ｙ^2･ｅ^{x/y}\)　の大小関係を調べてください。（東工大）

【解答４】

対数をとって微分するのが定石なのでしょうが、ここではテクニックを使ってみます。

\(ｙ＝tx　(t>1)、f(t)＝(ｘ^2･e^{y/x})/(ｙ^2･ｅ^{x/y})＝ｅ^t/ｔ^2e^{1/t}＝ｔ^2･ｅ^{ｔ-1/2}\)　とおきます。

\(ｆ'(t)＝ｅ^{ｔ－1/t}･ｔ^{-4}･(ｔ－1)^2\)　となります。
よって、\(ｔ＞0でｆ’(t)＞0で単調増加関数です。
また、\displaystyle \lim_{ n \to 1-0 } f(t)＝1より、f(t)>1\)

従って、\(ｘ^2･e^{y/x}＞ｙ^2･ｅ^{x/y}\)　となります。

【問題５】

次の式を証明してください。

\(log{(1+x)/(1-x)}=2･(ｘ+ｘ^3/3+ｘ^5/5+･･････+ｘ^{2n-1}/(2n-1)+･･･)\)　（lｘl＜1）

また、\(log２\)を小数点第5位まで求めてください。

【解答５】

\((log{(1+x)/(1-x)}=log(1+x)－log(1-x)＝ｘ-ｘ^2/2+ｘ^3/3－････+(-1)^{n-1}+Rn+1+(ｘ+ｘ^2/2+･･････－R’n+1\)
＝2（ｘ+ｘ^3/3+･････････+ｘ^{2n+1}/(2n+1))+R2n+1－R’2ｎ+1\)
となります。

\(ｌｘｌ＜1\)　のとき、
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } R2n+1=0,\displaystyle \lim_{ n \to \infty } R’2n+1=0 \)ですから、

従って、\(log{(1+x)/(1-x)}=2･(ｘ+ｘ^3/3+ｘ^5/5+･･････+ｘ^{2n+1}/(2n+1)+･･･)\)となります。･･･････①
\(2＝(1+x)/(1-x)　のとき、ｘ＝1/3\)ですから、①にｘ＝1/3を代入して、計算すると、
\(log２＝0.69314\)　となります。