３角関数－解答編－

三角関数について

3角関数の基本公式を解説いたしました。３角関数の基本は、単位円とsin、cosの加法定理です。これをしっかり理解しておきましょう。解説をリンクしておきます。３角関数-公式がたくさんある項目-

３角関数の問題の解答

【問題１】
ａ=sin20°、b=40°、c=80°　とするとき、\(a^3+ｂ^3-ｃ^3\)の値を求めてください。

【解答１】
\(sin3θ＝３sinθ-４sin^3θ\)　ですから、\(sin^3θ＝(３sinθ-sin3θ)/4\)　です。θ=20°とおけば、\(a^3+ｂ^3-ｃ^3\)=\(1/4･(3(sinθ+sin2θ-sin4θ)-(sin3θ+sin6θ-sin12θ))\)　となります。
\(sinθ+sin2θ-sin4θ=sin20°+(sin40°-sin80°)＝sin20°-sin20°＝0\)
また\(sin3θ+sin6θ-sin12θ\)=\(sin60°+sin120°-sin240°\)＝\(\sqrt{3}/2\)+\(\sqrt{3}/2\)+\(\sqrt{3}/2\)=3\(\sqrt{3}/2\)
よって、\(a^3+ｂ^3-ｃ^3\)=－3\(\sqrt{3}/8\)

【問題２】
三角形ABCにおいて、\(cosA+cosB+cosC\)　のとりうる値の範囲を求めてください。

【解答２】
I＝\(cosA+cosB+cosC\)＝\(2cosC/2･cos(A-B)/2+cosC\)　となります。よって、C=一定のもとに、IはA=Bのときに最大となります。このとき、
\(I=2sinＣ/2+1+2sin^2(C/2)\)＝\(2(sinC/2-1/2)^2+3/2≦3/2\)です。よって、\(sinC/2＝1/2\)のとき、\(C=π/3\)のとき、最大値\(3/2\)をとります。
また、ｌA-Bｌ＜A+B-π＝π-C＜π　であり、cosθは、0<θ<π/2で単調減少ですから、\(cos(A-B)/2＞cos(π-C)/2＝sinC/2　\)よって、\(I＞2sin^2(C/2)-cosC/2+cosC/2＝1\) です。よって1＜\(cosA+cosB+cosC\)≦3/2　となります。

【問題３】
不等式　\(asinθ+cosθ＜a\)　を満たす\(θ\)が、\(０<θ＜π/2\)　の中に少なくとも１つ存在するような実数\(a\)の範囲を求めてください。

【解答3】
\(x=cosθ、ｙ＝sinθ\)　とおくと、\(x^2+y^2=1、x+ay=a　(ｘ＞0、y>0)\)となります。よって、上の円と直線が共有点をもつ条件を求めればいいことになります。直線は、\(ｘ+a(y-1)＝0\)となりますから、この直線は、定点（0,1)を通ります。
\(a＝0なら、直線は、y軸（ｘ＝0）\)となりますから、これは不適です。
\(a≠0なら、直線の傾き－1/a\)　ですから、求める条件は、\(－１＜-1/a＜0\)ですから、
\(a>1\)　となります。従って答えは、\(a＞1\)です。