３角比の問題　－３角比は、どんな数なのか。解答編-

３角比の問題

「tan 1 °　は、有理数か、無理数か」･････　（１）　　（京都大学）

この問題の解答を書いておきます。もっとも短い入試問題と言われています。（１）をみて、どういう解答を思いつくかなのですが、\(１°＝π/180　rad\)　ですから、radで考えようとする人もいるかもしれません。また、図を書いて解こうとする人もいるかもしれません。でも、どうも、\(tan１°\) は無理数らしいと予想出来ます。

ある数が、無理数なのかどうかを証明する時には、よく背理法を使います。例えば　\(sqrt{2}\) は無理数ですが、これも有理数だと仮定して、矛盾を導き背理法で証明します。

では、どうやって論理構成をするのか

多分背理法を使うのだろうと予測をたてて、考えて見ます。と言うことは、tan１°は、有理数だと仮定して何らかの矛盾を導けばいいのだろうと、考えます。ではどうやって矛盾を導くのか。これがこの問題を解く鍵になります。

解決の糸口

３角比、３角関数には、加法定理があります。これを思いつくかどうかが正解にたどり着くかどうかのキーポイントです。

tanの加法定理は、α、βにたいして、\(tan（α+β）＝(tanα+tanβ)/(1-tanα･tanβ)\)････②　であらわされることは基本的です。この加法定理を使って何とか矛盾を導けばいい事になります。②は、αとβの足し算ですから、１°から、２°が導けます。こうして次々に１°ずつ角度が大きくなることになります。

数学的帰納法を使えばいいのだろうという思いつき

解決の糸口から、数学的帰納法を用いればよいと思いつけば、もう解答はかけると思います。加法定理を使って、１°から、２°、３°、４°と順に角度を１°ずつ上げていき、無理数であるところまでもっていけばいいと考えます。

そこで思いつくのは、特殊角のtan３０°でこれは、\(1/\sqrt{3}＝\sqrt{3}/3\)　で無理数です。そこでそこまで行き着けばいい事になります。√3/3が無理数であることも言わなければならないとしたら、これも背理法で容易に証明できます。

\(tan１°\)が無理数であることの証明

\(tan１°＝\)有理数であると仮定します。②式から、\(α＝１°、β＝１°\)とすれば、\(tan２°＝\)｛有理数+有理数｝/｛１－有理数・有理数｝＝有理数となります。これを繰り返すと、\(tan３０°＝tan（２９°+１°）＝tan３０°＝\)有理数となってしまいます。ところが、\(tan３０°＝\sqrt{3}/3＝\)無理数ですから、これは矛盾です。従って、\(tan１°\) は有理数ではなく、無理数であることになります。