２次曲線を極めよう－どのような解き方をするのか－

２次曲線について

高校で学ぶ２次曲線は、それほど多くはありません。楕円、双曲線、放物線などの円錐曲線がほとんどです。２次元\(ｏ-ｘｙ\)座標で考える場合が多いですが、必要に応じて変数変換をしたり、極座標を用いたほうがやりやすいことがありますので、解く前にどういう方法で解くのか、方針を決めるようにしてください。
２次曲線は、離心率\(ｅ\)を使うと、\(ｒ＝f(θ）\)の形式になり、統一的に表されることも要確認事項です。

２次曲線の問題

【問題１】

楕円\(ｘ^2/ａ^2＋ｙ^2/ｂ^2＝１\)　\((ａ＞ｂ＞0)\)に、4辺が接する長方形の面積の最大値と、最小値を求めてください。

【問題２】

楕円\(ｘ^2/3^2＋ｙ^2＝1\)上の点を、\(Ｐ(3cosα、sinα）（0≦α≦π/2）\)とします。

(1)OPの長さが、\(3/\sqrt{5}\) 以上となるθの範囲を求めてください。

(2)原点Ｏと点Ｐを結ぶ線分とｘ軸との成す角をθとするとき、\(l α－θ l \)　の最大値を求めてください。

【問題３】

\(AB=AC、BC=2\)　の直角2等辺３角形\(ABC\)の各辺に接し、１つの軸が\(BC\)に平行な楕円の面積の最大値を求めてください。

【問題４】

Cを双曲線\(２ｘ^2－2ｙ^2＝１\)とします。\(ｌ、ｍ\)を点（1,0）を通り、ｘ軸とそれぞれ、θ、θ＋π/4の角をなす２直線とします。ここで、θは、π/4の整数倍ではないものと考えます。

(1)直線ｌは、Cと相異なる２点P,Qで交わることを示してください。
(2)直線ｍとCの交点を、R,Sとするとき、
\(1/PQ^2＋1/RS^2\)は、θによらない一定な値になることを示してください。