頻出問題演習－解答編－

入試数学

受験の問題には、難しい問題も出題されますが、概して合格の勝負になるのは、いわゆる頻出問題の出来であることが多いものです。今回は、頻出問題をやってみましょう。

頻出問題演習

【問題1】

複素数の数列\(z_n\)を次式によって定めるものとします。
\(z_1＝1+i\)　\(z_{n+1}＝(2-i)z_n+\bar{z_n}\)　\((n=1,2,3････････)\)
また、\(z_n＝x_n+iy_n\)とし、\(x_n,y_n\)は実数、\(i\)は虚数単位とし、\(\bar{z_n}\)は\(z_n\)の共役複素数とします。
(1)　\(x_n+y_n\)を求めてください。
(2)　\(x_n,y_n\)を求めてください。
(3)　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } y_n/x_n\)　を求めてください。

【解答1】

(!)　\(z_1＝1+i\)　より　\(x_1=1、y_1=1\)
条件式から、\(x_{n+1}+iy_{n+1}＝(3x_n+y_n)+i(-x_n+y_n)\)
よって、\(x_{n+1}＝3x_n+y_n、y_{n+1}=-x_n+y_n\)
従って、\(x_n+y_n＝２(x_{n-1}+y_{n-1})＝2^n\)

(2)　(1)より、\(x_{n+1}＝2x_n+２^n\)⇔\(x_{n+1}/2^{n+1}＝x_n/2^n+1/2\)
よって、\(x_n/２^n＝1/2･(n-1)+1/2\)から\(x_n＝ｎ･２^{n-1}\)
また、\(y_n＝(2-n)･２^{n-1}\)

(3)　(2)より、
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } y_n/x_n＝\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(2-n)/n＝－1\)

【問題2】

袋のなかに\(1から9\)までの異なる数字をつずつ書いた\(9\)枚のカードが入っています。この中から1枚を取り出し、数字を調べて袋に戻します。
この試行を\(n\)回繰り返したとき、調べた\(n\)枚のカードの数字の和を\(x_n\)が偶数になる確率\(P_n\)を求めてください。

【解答2】

\(n\)回目の\(x_n\)が偶数のときと、奇数のときに分けて考えると、この2つの事象は独立です。
よって、\(X_{n+1}\)が偶数になるのは、\(X_n\)が偶数のとき、\(4/9\)、奇数のとき\(5/9\)です。
従って、\(P_{n+1}＝4/9･P_n+5/9･(1－P_n)\)＝－1/9･P_n+5/9\)

これより\(P_n=1/2･(1+(-1/9)^n\)

【問題3】

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \sqrt[1/n]{(2n)!/n!n^2}\)　を求めてください。

【解等3】

\(P_n＝ \sqrt[1/n]{(2n)!/n!n^2}\)　とおきます。
\(P_n＝\sqrt[1/n]{(n+1)/n････････････(n+n)/n}＝\sqrt[1/n]{(1+1/n)･･･････････(1+n/n)}\)

【問題4】

\(C:x=3cos2t、y=2sin3t　　(0≦t≦π/3)\)　と\(x軸\)で囲まれる部分の面積を求めてください。

【解答4】

グラフの概形を考え、求める図形の面積\(S\)は、

\(S=\displaystyle \int_{-3/2}^{3} y･dx/dt･ dt\)
=\(\displaystyle \int_{ π/3 }^{0} 2sin3t･(-6)･sin2tdt=18\sqrt{3}/5\)