頻出問題演習

入試数学

受験の問題には、難しい問題も出題されますが、概して合格の勝負になるのは、いわゆる頻出問題の出来であることが多いものです。今回は、頻出問題をやってみましょう。

頻出問題演習

【問題1】

複素数の数列$z_n$を次式によって定めるものとします。
$z_1＝1+i$　$z_{n+1}＝(2-i)z_n+\bar{z_n}$　$(n=1,2,3････････)$
また、$z_n＝x_n+iy_n$とし、$x_n,y_n$は実数、$i$は虚数単位とし、$\bar{z_n}$は$z_n$の共役複素数とします。
(1)　$x_n+y_n$を求めてください。
(2)　$x_n,y_n$を求めてください。
(3)　$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } y_n/x_n$　を求めてください。

【問題2】

袋のなかに$1から9$までの異なる数字をつずつ書いた$9$枚のカードが入っています。この中から1枚を取り出し、数字を調べて袋に戻します。
この試行を$n$回繰り返したとき、調べた$n$枚のカードの数字の和を$x_n$が偶数になる確率$P_n$を求めてください。

【問題3】

$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{(2n)!/n!n^2}$　を求めてください。

【問題4】

$C:x=3cos2t、y=2sin3t　　(0≦t≦π/3)$　と$x軸$で囲まれる部分の面積を求めてください。