面積と体積の定義

面積と体積はどう定義するのか

面積と体積はどう定義するのかと言っても、図形を考えれば当たりまえだ、と言われればそのとおりかもしれません。しかし、数学では面積や体積も明確な方法で、定義しようと考えます。平面上のある範囲 K の面積S_Kなどをどう定義するか考えてみましょう。面倒な考察をしているように思われるかもしれませんが、様々な図形の面積や体積を明確に定義するためには必要なものです。

上限・下限と面積・体積

ある数の集合Mについて

1^o M \ni mの全てのmについて、
m≦a
2^o a'<aならば、
a'<aならば、a'<m, m \in M を満たすmがある。
このとき、aは、Mの上限といい、supM と表します。

同様に、M \ni mである全てのmについて、m≧bであり、
b’.bならば、b’.m,m \in Mとなるmがあるとき、
bMの下限といい、b=infMと表します。

このもとに、ある範囲Kにおける面積S_Kを定義してみましょう。

(1)Kが長方形であれば、その2辺の長さを、a,bとすると、
S_K=a・bで定義します。
(2)互いに周以外には共通点を持たない範囲Kに含まれる長方形の集合Ω_αを考えます。

このとき、Ω_αに含まれる全ての長方形の総和を、S_αとします。
集合Ω_αは、いろいろなものが考えられますが、集合{S_α}を考え
sup{S_α}=sが存在するとき、これを一般の範囲Kの内面積といいます。

ついで、互いに周以外共通点を持たない長方形の集合Ω_βを考えます。
Kの範囲の全ての点がΩ_βのどれかの長方形に含まれるとき、Ω_βKをcoverすると言います。
Ω_βに含まれる長方形の面積の総和をS_βとします。
このとき、Kをcoverする全てのΩ_βについての総和S_βの集合{S_β}を考え、
inf{S_β}=Sが存在するとき、これをKの外面積を言います。

もし、s=Sであるとき、Kを面積確定と言い、
S_K=S=sと定義します。

面倒なことをやっていると思われるかもしれませんが、実際に面積を確定できない図形が存在するからです。
面積確定でない図形の例をあげてみましょう。

正方形0≦x≦1,0≦y≦1のうちから、x,yともに有理数である点を除いた範囲をKとしましょう。
外面積S=1ですが、内面積s=0となり、面積確定できません。

体積については、面積の場合の長方形を直方体に置き換えて同じことを考えればいいことになります。

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